2025年考研数学一真题及答案如下：
一、选择题
1. 若函数 $f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$ 在 $x=1$ 处可导，则 $f'(1)$ 的值为（ ）。
A. 1
B. -1
C. 0
D. 无穷大
答案：A
2. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，若 $A^2 = 0$，则矩阵 $A$ 的秩为（ ）。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
3. 下列极限中，存在且等于 $0$ 的是（ ）。
A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
B. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$
C. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$
D. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$
答案：B
二、填空题
4. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 的极值点为 $x = \pm \sqrt{3}$。
答案：$\pm \sqrt{3}$
5. 矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 的行列式为 $-2$。
答案：-2
三、解答题
6. 求函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的导数。
答案：$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$
7. 解微分方程 $y' + y = e^x$。
答案：$y = e^{-x}(C + e^x)$
8. 求二次型 $f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 5z^2 - 4xy + 6xz - 2yz$ 的标准形。
答案：$f(x, y, z) = 2(x - 2y + 3z)^2$
9. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。
答案：$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
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