2022年考研高数二真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处连续，则 \( f(1) \) 的值为（ ）。
A. 2 B. 1 C. 0 D. 无穷大
答案：A
2. 下列函数中，可导且导函数为常数的是（ ）。
A. \( y = x^2 \) B. \( y = |x| \) C. \( y = e^x \) D. \( y = \ln x \)
答案：C
二、填空题
3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{x} = \) 。
答案：2
4. 设 \( f(x) = e^{2x} \)，则 \( f'(x) = \) 。
答案：\( 2e^{2x} \)
三、解答题
5. 求解微分方程 \( y' + 2xy = x^2 \)。
答案：通解为 \( y = C - x^2 - x \)，其中 \( C \) 为任意常数。
6. 设 \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \)，求 \( f'(x) \)。
答案：\( f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \)
7. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x^2} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x^2} = 1 \)
8. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
答案：切线方程为 \( y = 0 \)
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