在考研数学的备考过程中，高频考点是考生必须掌握的核心内容。以下是对几个高频考点的甄选题答案解析：
1. 极限计算：答案：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。解析：利用洛必达法则或等价无穷小替换，得到$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
2. 导数求解：答案：函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在$x=1$处的导数为$f'(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 0 = -2$。解析：对函数求导，得$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x=1$计算。
3. 二重积分：答案：$\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$，其中$D$为$x^2 + y^2 \leq 1$的区域。解析：采用极坐标变换，$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，积分得$\frac{\pi}{2}$。
4. 线性代数：答案：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$的特征值为$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5$。解析：求解特征方程$\det(\lambda I - A) = 0$，得特征值。
5. 概率论：答案：袋中有5个红球和3个蓝球，随机取出3个球，取出2个红球和1个蓝球的概率为$\frac{10}{35} = \frac{2}{7}$。解析：使用组合数计算不同情况的概率，然后相加。
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