2014年考研数学二第20题解答如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f''(0) \)。
解答过程：
首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \) 和二阶导数 \( f''(x) \)。
一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \left( \frac{1}{1+x^2} \right)' = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
然后，求二阶导数 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = \left( -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \right)' = \frac{2(1+x^2)^2 - 4x \cdot 2x(1+x^2)}{(1+x^2)^4} \]
\[ f''(x) = \frac{2(1+x^2) - 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{2 - 6x^2}{(1+x^2)^3} \]
最后，计算 \( f''(0) \)：
\[ f''(0) = \frac{2 - 6 \cdot 0^2}{(1+0^2)^3} = \frac{2}{1} = 2 \]
所以，\( f''(0) = 2 \)。
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