2012年数学一考研真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. 1/2
12. e
13. 2
14. π
15. 1/3
三、解答题
16. 解：由题意得微分方程为 dy/dx = x^2y。分离变量得 dy/y = x^2dx。两边积分得 ln|y| = x^3/3 + C。解得 y = Ce^(x^3/3)，其中 C 为任意常数。
17. 解：设 f(x) = x^3 - 3x + 2，则 f'(x) = 3x^2 - 3。令 f'(x) = 0，得 x = ±1。当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0，函数单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，函数单调递减。因此，f(x) 在 x = -1 处取得极大值，f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4；在 x = 1 处取得极小值，f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0。
18. 解：设 A = {x | x ∈ R, x^2 - 4x + 3 ≤ 0}，则 A = [1, 3]。函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在区间 [1, 3] 上连续，且 f(1) = f(3) = 0。根据罗尔定理，至少存在一点 c ∈ (1, 3)，使得 f'(c) = 0。计算 f'(x) = 2x - 4，得 f'(c) = 2c - 4 = 0，解得 c = 2。
四、证明题
19. 证明：由题意得 a^2 + b^2 = 1。要证明 a^3 + b^3 = 1，即证明 (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 1。由于 a^2 + b^2 = 1，代入得 (a + b)(1 - ab) = 1。因此，a^3 + b^3 = 1 成立。
五、综合题
20. 解：设 f(x) = x^3 - 3x + 2，则 f'(x) = 3x^2 - 3。令 f'(x) = 0，得 x = ±1。当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0，函数单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，函数单调递减。因此，f(x) 在 x = -1 处取得极大值，f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4；在 x = 1 处取得极小值，f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0。又因为 f(0) = 2，f(2) = 2，所以 f(x) 在 x = 0 和 x = 2 处取得极值。根据极值和端点值，得 f(x) 的最大值为 4，最小值为 0。
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