在备考考研数学的过程中，定积分的计算题是不可或缺的一部分。以下是一道典型的定积分计算题：
题目：计算定积分 $\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
解题步骤：
1. 首先，观察被积函数 $x^2 \sin x$，我们可以尝试使用分部积分法。
2. 设 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$；设 $dv = \sin x \, dx$，则 $v = -\cos x$。
3. 应用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得到：
\[
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x \bigg|_0^{\pi} + \int 2x \cos x \, dx
\]
4. 接下来，对 $\int 2x \cos x \, dx$ 再次使用分部积分，设 $u = 2x$，则 $du = 2 \, dx$；设 $dv = \cos x \, dx$，则 $v = \sin x$。
5. 再次应用分部积分公式，得到：
\[
\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x \bigg|_0^{\pi} - \int 2 \sin x \, dx
\]
6. 最后，计算 $\int 2 \sin x \, dx$，这是一个基本的积分，结果为 $-2\cos x$。
7. 将所有结果代入原积分中，得到：
\[
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -\pi^2 \cos \pi + \pi^2 \cos 0 + 2\pi \sin \pi - 2\cos \pi + 2\cos 0
\]
8. 由于 $\cos \pi = -1$ 和 $\cos 0 = 1$，$\sin \pi = 0$，最终结果为：
\[
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \pi^2 + 2
\]
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