2017年考研数二真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. B
4. A
5. D
6. C
7. B
8. A
9. D
10. C
二、填空题
11. 2
12. 1/2
13. π
14. 3
15. 1/3
三、解答题
16. 解：设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6 \)，则
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \]
令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = 1 \) 或 \( x = 2 \)。
检查 \( f''(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 2 \) 的符号，得 \( x = 1 \) 为极大值点，\( x = 2 \) 为极小值点。
因此，\( f(1) = 2 \)，\( f(2) = 0 \)。
17. 解：设 \( x = r \cos \theta \)，\( y = r \sin \theta \)，则
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial r} \cos \theta - \frac{\partial z}{\partial \theta} r \sin \theta \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial r} \sin \theta + \frac{\partial z}{\partial \theta} r \cos \theta \]
由于 \( \frac{\partial z}{\partial r} = 0 \)，\( \frac{\partial z}{\partial \theta} = 0 \)，所以 \( \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \)，\( \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \)。
18. 解：设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则
\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \]
四、证明题
19. 证明：设 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导，且 \( f(a) = 0 \)，\( f'(a) = 0 \)，则存在 \( \varepsilon > 0 \)，使得当 \( x \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon) \) 时，\( f(x) = 0 \)。
证明：由拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (a, x) \) 或 \( \xi \in (x, a) \)，使得
\[ f(x) - f(a) = f'(\xi)(x - a) \]
由于 \( f(a) = 0 \)，\( f'(a) = 0 \)，所以 \( f(x) = 0 \)。
五、综合题
20. 解：设 \( A \) 为 \( n \times n \) 可逆矩阵，\( B \) 为 \( n \times n \) 矩阵，且 \( AB = BA \)，证明 \( A \) 的特征值都是 \( 1 \)。
证明：设 \( \lambda \) 为 \( A \) 的任意特征值，\( \alpha \) 为对应的特征向量，则
\[ A\alpha = \lambda \alpha \]
由于 \( AB = BA \)，所以
\[ B(A\alpha) = (BA)\alpha \]
\[ B(\lambda \alpha) = \lambda (B\alpha) \]
\[ \lambda B\alpha = \lambda B\alpha \]
由于 \( \alpha \neq 0 \)，\( \lambda = 1 \)。
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