关键词：考研数学一题及答案
【难题挑战】
考研数学一题：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求函数 \( f(x) \) 的极值点。
【答案解析】
首先，对函数 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
然后，对 \( f'(x) \) 再次求导得到 \( f''(x) = 6x - 12 \)。
将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别代入 \( f''(x) \)，得到 \( f''(1) = -6 \) 和 \( f''(3) = 6 \)。
因为 \( f''(1) < 0 \)，所以 \( x = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极大值点；因为 \( f''(3) > 0 \)，所以 \( x = 3 \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。
极大值 \( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5 \)，极小值 \( f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = -5 \)。
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