2015年数一考研真题解析如下：
一、选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】C
3. 【答案】B
4. 【答案】D
5. 【答案】A
二、填空题
6. 【答案】e^(-x)
7. 【答案】2
8. 【答案】π/2
9. 【答案】2
10. 【答案】1/3
三、解答题
11. 【答案】（1）设f(x) = e^x - x，则f'(x) = e^x - 1。令f'(x) = 0，得x = 0。又f''(x) = e^x > 0，所以f(x)在x = 0处取得极小值，即f(0) = 1。因此，e^x ≥ x + 1。
（2）设f(x) = ln(x) - 1/x，则f'(x) = 1/x + 1/x^2 > 0。所以f(x)在(0, +∞)上单调递增。又f(1) = 0，所以当0 < x < 1时，f(x) < 0；当x > 1时，f(x) > 0。因此，ln(x) - 1/x < 0。
12. 【答案】（1）设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 2/3 或 x = 1。又f''(x) = 6x - 6，所以f''(2/3) = 0，f''(1) = 0。因此，f(x)在x = 2/3 和 x = 1 处取得极值。
（2）f(2/3) = (2/3)^3 - 3(2/3)^2 + 4(2/3) - 6 = -8/27，f(1) = 1 - 3 + 4 - 6 = -4。所以f(x)在x = 2/3 处取得极大值，极大值为-8/27；在x = 1 处取得极小值，极小值为-4。
13. 【答案】（1）设f(x) = x^2 - 2x + 1，则f'(x) = 2x - 2。令f'(x) = 0，得x = 1。又f''(x) = 2 > 0，所以f(x)在x = 1处取得极小值，即f(1) = 0。
（2）设g(x) = f(x) - x^2 = -2x + 1。则g'(x) = -2 < 0，所以g(x)在(-∞, +∞)上单调递减。又g(0) = 1，g(1) = -1，所以当x < 0时，g(x) > 0；当x > 1时，g(x) < 0。因此，f(x) > x^2。
14. 【答案】（1）设f(x) = x^2 - 2x + 1，则f'(x) = 2x - 2。令f'(x) = 0，得x = 1。又f''(x) = 2 > 0，所以f(x)在x = 1处取得极小值，即f(1) = 0。
（2）设g(x) = f(x) - x^2 = -2x + 1。则g'(x) = -2 < 0，所以g(x)在(-∞, +∞)上单调递减。又g(0) = 1，g(1) = -1，所以当x < 0时，g(x) > 0；当x > 1时，g(x) < 0。因此，f(x) > x^2。
15. 【答案】（1）设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 2/3 或 x = 1。又f''(x) = 6x - 6，所以f''(2/3) = 0，f''(1) = 0。因此，f(x)在x = 2/3 处取得极大值，极大值为-8/27；在x = 1 处取得极小值，极小值为-4。
（2）设g(x) = f(x) - x^2 = -2x + 1。则g'(x) = -2 < 0，所以g(x)在(-∞, +∞)上单调递减。又g(0) = 1，g(1) = -1，所以当x < 0时，g(x) > 0；当x > 1时，g(x) < 0。因此，f(x) > x^2。
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