在探讨泰勒公式在考研中的应用时，以下是一个典型的例题：
例题： 已知函数 \( f(x) = e^x \)，求其在 \( x = 0 \) 处的三阶泰勒展开式，并计算 \( f(0.1) \) 的近似值。
解题步骤：
1. 计算函数及其导数：
- \( f(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'(x) = e^x \)，所以 \( f'(0) = e^0 = 1 \)
- \( f''(x) = e^x \)，所以 \( f''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'''(x) = e^x \)，所以 \( f'''(0) = e^0 = 1 \)
2. 应用泰勒公式：
\( f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \)
\( f(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
3. 代入 \( x = 0.1 \) 计算：
\( f(0.1) \approx 1 + 0.1 + \frac{1}{2}(0.1)^2 + \frac{1}{6}(0.1)^3 \)
\( f(0.1) \approx 1.1 + 0.005 + 0.0001667 \)
\( f(0.1) \approx 1.1051667 \)
答案： \( f(0.1) \) 的近似值为 1.1051667。
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