多元函数极限问题，关键在于理解函数的连续性和可导性。若函数在点\( (x_0, y_0) \)连续，则其在该点的极限等于函数值。例如，若\( f(x, y) \)在\( (x_0, y_0) \)连续，则\( \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} f(x, y) = f(x_0, y_0) \)。在解决多元函数填空题时，首先要判断函数的连续性，然后根据连续性得出极限值。下面以一题为例：
已知函数\( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \)，求\( \lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} f(x, y) \)。
解题步骤如下：
1. 判断函数的连续性：由于\( f(x, y) \)在\( (0, 0) \)处连续，因此我们可以直接计算极限。
2. 计算极限值：将\( x \)和\( y \)分别趋近于0，得到\( \lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} f(x, y) = \lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \)。
当\( x \)和\( y \)同时趋近于0时，分母\( x^2 + y^2 \)趋近于0，分子\( x^2y \)也趋近于0。因此，极限值为0。
综上所述，\( \lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} f(x, y) = 0 \)。
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