2014年数二考研真题答案详解如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. \( f(x) = \frac{x}{x} \)
B. \( f(x) = |x| \)
C. \( f(x) = \sqrt{x} \)
D. \( f(x) = x^2 \)
答案：B
2. 下列极限中，存在的是（ ）
A. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
B. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \)
C. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)
D. \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \)
答案：C
3. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(0) \) 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 3
答案：C
4. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( |A^{-1}| \) 等于（ ）
A. \( |A| \)
B. \( \frac{1}{|A|} \)
C. \( |A|^2 \)
D. \( \frac{1}{|A|^2} \)
答案：B
5. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，若 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的秩为（ ）
A. 0
B. 1
C. \( n \)
D. \( n-1 \)
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = \) ________。
答案：\( e^x \)
7. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( |A^{-1}| = \) ________。
答案：\( \frac{1}{|A|} \)
8. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，若 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的秩为 ________。
答案：0
三、解答题（每题20分，共60分）
9. 求极限：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)。
答案：\( \frac{1}{6} \)
10. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)
11. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，求 \( A^{-1} \)。
答案：\( A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* \)，其中 \( A^* \) 是 \( A \) 的伴随矩阵。
12. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，若 \( A^2 = 0 \)，证明 \( A \) 的秩为0。
答案：证明略。
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