考研数学基础题册核心考点精讲

考研数学基础题册是备考过程中的重要参考资料，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心知识点。许多考生在练习过程中会遇到各种问题，尤其是对一些基础概念的理解不够透彻。本文将针对基础题册中的常见问题进行详细解答，帮助考生梳理知识体系，夯实基础，避免在后续学习中出现遗漏。通过对典型例题的深入剖析，考生可以更好地掌握解题思路和方法，提高应试能力。

问题一：函数的连续性与间断点如何判断？

函数的连续性与间断点是考研数学中的基础考点，很多考生在判断函数间断点时容易混淆可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点的概念。我们要明确函数在某点x?处连续需要满足三个条件：函数在该点有定义、极限存在且极限值等于函数值。如果这三个条件中任何一个不满足，则该点为间断点。

具体判断方法如下：

例如，考虑函数f(x) = (x2-1)/(x-1)，在x=1处看似无定义，但分子分母可约简为f(x) = x+1，此时极限存在且等于2，所以x=1为可去间断点。再如函数g(x) = sin(1/x)，在x=0处极限不存在，属于无穷间断点。而函数h(x) = x在x=0处左右极限不相等，为跳跃间断点。

问题二：定积分的计算有哪些常用技巧？

定积分的计算是考研数学中的重点内容，考生往往在遇到复杂被积函数时感到无从下手。实际上，定积分的计算需要灵活运用多种方法，包括直接积分、换元积分和分部积分等。在基础题册中，常见的解题技巧有以下几种：

对于含有三角函数的积分，要注意利用三角恒等变形简化被积表达式。例如，积分∫sin2xdx可以通过二倍角公式变形为∫(1-cos2x)/2dx，然后拆分为两个简单的积分。对于含有根式或绝对值的积分，常采用换元法。比如积分∫√(a2-x2)dx，可以令x=asint，将根式转化为三角函数，简化计算过程。

分部积分法在处理乘积型被积函数时非常有效。其基本公式为∫udv = uv ∫vdu，其中u和dv的选择需要遵循"反对幂指三"的原则，即优先选择对数函数、反三角函数作为u。定积分的几何意义有时也能简化计算。例如，计算由y=sinx和x轴围成的面积时，可以直接利用图形分析得到积分值。掌握这些技巧需要大量练习，但一旦熟练，可以大大提高解题效率。

问题三：级数的收敛性如何判别？

级数收敛性的判别是考研数学中的难点，考生需要掌握多种判别方法，并学会根据级数类型选择合适的方法。在基础题册中，最常用的判别法包括正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法，以及交错级数的莱布尼茨判别法等。

对于正项级数，比较判别法是最基础的方法，需要将给定级数与p-级数或几何级数进行比较。例如，要判别级数∑(n/(n2+1))的收敛性，可以将其与p=2的p-级数进行比较，因为n/(n2+1) < n2/(n2+n2) = 1/(2n2)。由于p-级数当p>1时收敛，所以原级数也收敛。比值判别法则更常用，特别是对于含有阶乘或指数的级数。其核心是计算lim(n→∞)a(n+1)/a(n)，当该极限小于1时级数收敛，大于1时发散。

对于交错级数，莱布尼茨判别法提供了简单有效的判别方法：如果级数形式为∑(-1)?b(n)，且b(n)单调递减且lim(n→∞)b(n)=0，则级数收敛。例如，级数∑(-1)?/(n√n)满足这两个条件，所以收敛。值得注意的是，对于绝对收敛的级数，其本身必定收敛；但对于条件收敛的级数，改变项的次序可能会改变收敛性，这是考研中常考的细节问题。掌握级数收敛性的判别方法需要结合具体例题进行深入理解。