考研数学中的重难点问题深度解析

在考研数学的备考过程中，很多考生都会遇到一些难以理解或容易混淆的知识点。Krai老师凭借多年的教学经验，针对考生们普遍关心的问题进行了系统性的梳理和解答。这些问题不仅涵盖了高数、线代、概率等多个模块，还涉及了实际解题中的技巧和方法。本文将选取其中几个典型问题，结合Krai老师的讲解思路，帮助考生们更好地突破学习瓶颈，提升应试能力。

问题一：定积分的计算技巧有哪些？

定积分的计算是考研数学中的重点和难点，很多考生在处理复杂积分时会感到无从下手。Krai老师指出，定积分的计算技巧主要分为三大类：第一类是利用基本积分公式和积分法则直接计算，这种方法适用于简单的积分题目；第二类是通过换元积分法简化积分表达式，常见的换元方法包括三角换元、根式换元和分式换元等；第三类是利用分部积分法处理含有乘积的积分，分部积分法的公式是∫udv=uv-∫vdu，关键在于合理选择u和dv。

例如，在计算∫x2sinx dx时，可以令u=x2，dv=sinx dx，这样就能将原积分转化为更简单的形式。Krai老师还强调，在计算定积分时要注意积分区间的对称性，如果积分区间关于原点对称，可以优先考虑奇偶函数的性质简化计算。另外，对于一些含有绝对值或分段函数的定积分，需要分段处理后再合并结果。定积分的计算需要灵活运用各种方法，并注意细节处理，这样才能提高解题效率和准确性。

问题二：如何快速判断级数的收敛性？

级数的收敛性判断是考研数学中的常见考点，也是很多考生的薄弱环节。Krai老师建议，判断级数收敛性通常可以采用以下几种方法：第一，对于正项级数，可以先用比较判别法，如果无法直接比较，再考虑比值判别法或根值判别法；第二，对于交错级数，需要使用莱布尼茨判别法；第三，对于绝对收敛的级数，可以转化为正项级数处理。特别地，比值判别法适用于大多数级数，其判断标准是：若lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=l，则当l<1时级数收敛，l>1时级数发散，l=1时无法判断。

例如，在判断∑(n=1 to ∞) (n2+1)/(n3+2)的收敛性时，可以先计算比值lim(n→∞) [(n+1)2+1]/[(n+1)3+2] ÷ [(n2+1)/(n3+2)]，简化后得到1/2，小于1，因此级数收敛。另外，Krai老师提醒考生，在判断级数收敛性时要注意各项的极限是否为0，这是级数收敛的必要条件。如果级数的通项极限不为0，则该级数一定发散。对于幂级数的收敛域判断，需要分别考虑端点的收敛性，不能简单地认为端点一定收敛或发散。

问题三：多元函数的极值如何求解？

多元函数的极值求解是考研数学中的重点内容，也是很多考生容易混淆的知识点。Krai老师指出，求解多元函数的极值通常分为三个步骤：计算函数的偏导数，并解出所有驻点；对于每个驻点，计算其二阶偏导数，并构造海森矩阵；根据海森矩阵的符号判断驻点的性质。具体来说，如果海森矩阵在驻点处正定，则该点是极小值点；如果海森矩阵负定，则是极大值点；如果海森矩阵不定，则该点不是极值点。

例如，在求解函数f(x,y)=x3-3xy2+3y3的极值时，可以先计算偏导数f_x=3x2-3y2，f_y=-6xy+9y2，解得驻点(0,0)和(1,1)。然后构造海森矩阵H=???3x2 -6y 0???，在点(0,0)处，H=???0 0 0???，为不定矩阵，不是极值点；在点(1,1)处，H=???6 -6 0???，特征值分别为12和-6，为不定矩阵，也不是极值点。但这里有一个细节需要注意，如果海森矩阵的行列式为0，则不能直接判断，需要进一步分析。