考研数学基础题高频考点深度解析

考研数学中，基础题通常占据试卷的60%-70%，这些题目虽然难度不大，但考察范围广，是考生得分的关键。掌握基础题的解题技巧和常见考点，能够有效提升总分。本文将结合历年真题，分析3-5个高频基础题类型，并提供详细的解题思路和注意事项，帮助考生轻松应对。内容涵盖函数与极限、一元函数微分学、积分学等核心章节，力求解答详尽且贴近实战。

问题一：函数与极限中的连续性与间断点问题如何判定？

函数的连续性与间断点是考研数学中的常考点，通常以选择题或填空题形式出现。这类问题主要考察考生对连续性定义的理解以及分类间断点的识别能力。

解答这类问题时，首先要明确连续性的三个条件：函数在该点有定义、左右极限存在且相等、极限值等于函数值。若不满足其中任意一条，则该点为间断点。间断点可分为三类：

解题技巧上，可先观察函数图像或表达式特征。例如，分母为零的点可能是间断点，但需进一步验证极限是否存在。对于分段函数，要特别关注分段点处的连续性。以下举例说明：

例题：判断函数f(x) = sin(x)/x在x=0处的连续性。

解析：由于x=0时函数无定义，需考察极限lim(x→0) sin(x)/x。利用洛必达法则或三角函数性质可得极限为1，因此可定义f(0)=1使函数在x=0处连续。这种通过补充定义消除间断点的情况属于可去间断点。

总结这类题目的关键在于：先判断是否连续，若不连续再分类。对于复合函数，要逐层分析，从内到外检查每一步的连续性。历年真题中这类问题常结合极限计算，考生需注意避免因计算错误导致判断失误。

问题二：一元函数微分学中的导数应用题常见哪些类型？

导数的应用是考研数学的必考内容，约占微分学部分的40%。这类题目通常涉及极值、最值、单调性及凹凸性等知识点，常以大题形式出现，分值较高。

解题时，首先要明确基本概念：极值是局部最优，最值是全局最优；单调性通过导数符号判断，凹凸性通过二阶导数符号判断。常见题型包括：

以极值问题为例，解题步骤通常为：求导→找驻点与不可导点→判断导数符号确定极值性质。特别要注意，导数不存在的点也可能是极值点，需单独验证。

例题：求函数f(x) = x3 3x2 + 4在[-1,4]上的最值。

解析：f'(x) = 3x2 6x，令f'(x)=0得驻点x=0和x=2。计算得f(-1)=6，f(0)=4，f(2)=0，f(4)=4。比较可得最大值6，最小值0。

关键点在于：最值可能在驻点、端点或导数不存在的点取得，需全面考虑。对于不等式证明，常构造辅助函数，通过导数单调性证明。几何应用则需熟练掌握切线方程、法线方程及渐近线的求法。

问题三：积分学中的定积分计算技巧有哪些？

定积分计算是考研数学的重点，约占总分的15%-20%。除了基本计算外，常涉及换元法、分部积分法以及反常积分，技巧性强，是拉开分数的关键。

高效计算定积分的技巧主要有：

换元法是核心技巧，三角换元、根式换元、倒代换等各有适用场景。例如，被积函数含根式√(a2-x2)时，常令x=a sinθ；含√(x2±a2)时，考虑x=a tanθ或x=a secθ。

例题：计算∫[0,π/2] sin3x dx。

解析：由于sin3x是奇函数的平方，可变形为∫[0,π/2] (1-cos2x)sinx dx。令u=cosx，则du=-sinx dx，积分区间变为[1,0]，即∫[1,0] -u2 du = ∫[0,1] u2 du = 1/3。

对于反常积分，需先计算不定积分再取极限。计算时注意：若反常积分收敛，则其值等于定积分；若发散，则需明确指出。分部积分时，通常选择指数函数、三角函数为u，多项式为dv，以减少积分次数。

问题四：级数部分的高频考点有哪些？

级数是考研数学的难点之一，主要考察数项级数的收敛性判断和幂级数的性质。这类问题常结合数列知识，综合性强。

数项级数收敛性判断的核心方法是正项级数比较判别法、比值判别法、根值判别法。幂级数则重点考察收敛半径、收敛域及和函数性质。

对于正项级数，比值判别法最常用，当lim(n→∞) a_(n+1)/a_n = l时，l<1收敛，l>1发散，l=1不确定。交错级数则用莱布尼茨判别法：若a_n单调递减且lim(n→∞) a_n=0，则收敛。

幂级数问题常涉及求收敛域，方法为：先用比值法或根值法求收敛半径R，再讨论端点x=R和x=-R处的收敛性。和函数性质则常用于求级数求和，如利用逐项求导、逐项积分等方法。

例题：判断级数∑[n=1,∞] (n+1)/nn的收敛性。

解析：用比值判别法，lim(n→∞) [(n+2)/(n+1)2 / ((n+1)/nn)] = lim(n→∞) [(n+2)nn / (n+1)3] = 1/1=1。由于l=1，比值法失效，改用极限比较法：与1/n(n-1)比较，后者收敛，原级数也收敛。

级数问题难点在于方法选择和细节处理。考生需熟练掌握各类判别法的适用条件，并注意端点收敛性的单独讨论。幂级数问题则要牢记收敛半径与系数无关的性质。

问题五：常微分方程的求解技巧有哪些？

常微分方程是考研数学的另一个重点章节，主要考察一阶线性方程、可分离变量方程及二阶常系数线性方程的求解。这类问题常以应用题形式出现，需要结合实际问题建立方程。

求解技巧可以归纳为：

例题：求解初值问题y' y = x，y(0)=1。

解析：这是一阶线性方程，积分因子为e(-x)。方程两边乘以e(-x)得e(-x)y' e(-x)y = xe(-x)，即(e(-x)y)' = xe(-x)。积分得e(-x)y = -xe(-x) e(-x) + C，即y = -x-1+Cex。由y(0)=1得C=2，所以解为y = -x-1+2ex。

常微分方程问题常与物理、几何等知识结合，建立方程是关键。考生需熟悉各类方程的解法，并注意初始条件的应用。对于二阶方程，要特别掌握非齐次项为多项式、指数函数、三角函数或它们的乘积时的待定系数法。