张宇考研数学：高数中的疑难杂症一本通

考研数学中的高数部分常常让考生头疼，尤其是那些看似简单却暗藏玄机的例题。张宇老师以其独特的教学风格，将复杂的知识点转化为生动易懂的案例，帮助考生攻克难点。下面，我们精选了几个典型的例题，结合张宇老师的解题思路，逐一解析，让你彻底弄懂每一个细节。无论是极限、导数还是积分，这些例题都能帮你找到突破的关键。

例题1：函数极限的求解技巧

问题：如何求解极限 lim (x→0) (sin x / x) (1 / (1 cos x))？
答案：这个极限看似简单，但很多考生容易忽略三角函数的变形技巧。我们知道 sin x / x 在 x→0 时趋近于1，但这里需要进一步处理分母。将 1 / (1 cos x) 变形为 1 / [2sin2(x/2)]，然后利用等价无穷小替换，sin(x/2) ≈ x/2，从而原式变为：
lim (x→0) (sin x / x) (2 / sin2(x/2)) = lim (x→0) (2 (x / 2)2 / (x2 / 4)) = 2。
这里的关键在于将分母拆解，并利用三角函数的恒等变形，才能顺利求出极限值。

例题2：隐函数求导的注意事项

问题：设 y = x arcsin x，求 dy/dx。
答案：这道题看似直接，但考生容易忽略隐函数求导的链式法则。将 y = x arcsin x 视为复合函数，对两边同时求导：
dy/dx = (d/dx)[x arcsin x] = x (d/dx)(arcsin x) + (arcsin x) (d/dx)x。
其中，(d/dx)(arcsin x) = 1 / √(1 x2)，因此：
dy/dx = x / √(1 x2) + arcsin x。
在求导过程中，要始终关注函数的复合结构，避免漏掉某一部分的导数。

例题3：定积分的几何应用

问题：计算定积分 ∫[0, π/2] sin2 x dx 的值。
答案：这道题考察了定积分的几何意义和三角函数的恒等变形。利用 sin2 x = (1 cos 2x) / 2，将积分变形为：
∫[0, π/2] sin2 x dx = ∫[0, π/2] (1 cos 2x) / 2 dx = (1/2) ∫[0, π/2] 1 dx (1/2) ∫[0, π/2] cos 2x dx。
计算第一部分，(1/2) ∫[0, π/2] 1 dx = (1/2) (π/2) = π/4；
计算第二部分，(1/2) ∫[0, π/2] cos 2x dx = (1/2) (sin 2x / 2) [0, π/2] = 0。
因此，最终结果为 π/4。这里的关键在于三角函数的降幂公式，以及定积分的基本计算方法。

例题4：级数收敛性的判断

问题：判断级数 ∑[n=1, ∞] (n / 2n) 的收敛性。
答案：这道题需要用到比值判别法。设 a_n = n / 2n，计算比值：
lim (n→∞) a_(n+1) / a_n = lim (n→∞) [(n+1) / 2(n+1)] (2n / n) = lim (n→∞) (n+1) / (2n) = 1/2。
由于比值小于1，根据比值判别法，级数收敛。这里比值判别法适用于大多数几何级数和幂级数，但也要结合具体问题灵活运用。

通过以上例题的解析，我们可以看到，考研数学中的难点往往在于细节的处理和方法的灵活运用。张宇老师的解题思路强调“化繁为简”，帮助考生找到解题的关键。希望这些例题能让你在备考过程中更加得心应手！