考研数学三2019真题中的几个“坑”你避开了吗？答案与解析全在这

介绍

考研数学三2019真题在难度和题型设计上颇具代表性，不少考生在作答时因细节疏忽或概念模糊而失分。本文选取了3-5个典型问题，结合考生常见错误，提供详细解答与避坑指南。这些问题既涉及基础知识的考察，也包含综合应用的难点，适合所有备考考生参考。通过分析这些真题中的“陷阱”，考生能更深刻理解考点，提升解题能力。

常见问题解答与解析

问题1：函数零点存在性定理应用中的常见误区

问题：在2019年真题中，一道关于方程根的存在性问题，部分考生因错误判断区间端点函数值符号而失分。具体题目是：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，证明存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。有考生在验证端点值时忽略f(x)在开区间(a,b)上的行为。

答案：根据函数零点存在性定理（即介值定理），当f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0时，确实存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。证明过程如下：连续函数在闭区间上的最大值和最小值存在，设M和m分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。由于f(a)f(b)<0，不妨设f(a)<0且f(b)>0（其他情况类似）。若f(x)在(a,b)内无零点，则f(x)在(a,b)内恒正或恒负，这与f(a)f(b)<0矛盾。因此，必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。考生常见误区在于：①忽视介值定理要求连续性条件；②错误认为端点值接近零即满足条件；③忽略开区间内函数符号变化的必要性。正确解题需结合数形结合思想，画出函数图像直观理解零点存在性。

问题2：多元函数极值求解中的约束条件处理

问题：2019年真题中的一道优化问题，要求在约束条件下求解函数极值。部分考生在拉格朗日乘数法应用中，错误处理约束方程的等号。题目为：求函数z=x2+y2在x+y=1条件下的最小值。

答案：使用拉格朗日乘数法时，需将约束方程x+y=1变形为x+y-1=0。设拉格朗日函数L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y-1)，则有以下方程组：
① 2x+λ=0
② 2y+λ=0
③ x+y-1=0
由①②得x=y，代入③得x=y=1/2，此时z=1/2。验证二阶条件：Hessian矩阵2 0 = 4>0，故(1/2,1/2)为极小值点。考生常见错误包括：①约束方程未标准化（缺少等号）；②忽略二阶条件验证；③错误计算偏导数符号。正确解题需注意：①约束方程必须为等式形式；②拉格朗日乘数需满足所有方程；③二阶条件判断极值类型不可省略。

问题3：级数收敛性判别中的交错级数误判

问题：2019年真题考查交错级数收敛性，部分考生错误套用莱布尼茨判别法。题目为：判断级数∑(-1)n(n+1)/(2n+1)√n的收敛性。

答案：该级数为交错级数，设bn=(n+1)/(2n+1)√n，需验证：①bn单调递减；②lim(n→∞)bn=0。对于①，考虑bn'=(2n+1)√n-√n(n+1)/(2n+1)√n，经计算可知bn'<0（n≥1），故bn单调递减。对于②，lim(n→∞)bn=lim(n→∞)[(n+1)/(2n+1)](1/(2n))=1/√2≠0，因此级数发散。考生常见误区：①忽略bn单调性严格证明；②错误计算极限值；③将条件收敛与绝对收敛混淆。正确解题需注意：①莱布尼茨判别法要求严格单调递减；②极限计算需准确；③交错级数收敛不等于绝对收敛。

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