考研高数极限难点突破：常见问题深度解析

考研高数中的极限部分是许多同学的难点，尤其是涉及洛必达法则、无穷小比较和函数连续性等问题时，容易陷入误区。本文以百科网风格，结合典型例题，系统梳理常见问题，帮助考生理清思路，掌握解题技巧。内容涵盖极限定义、计算方法及证明技巧，力求通俗易懂，助力考生高效备考。

问题一：如何正确使用洛必达法则求极限？

洛必达法则在考研高数中应用广泛，但使用时需注意条件。常见错误包括：未检查极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”，盲目多次使用法则，或忽略可约分等简化步骤。正确使用需分三步：首先判断极限形式，其次对分子分母求导，最后检查新极限是否可求。例如，计算 lim(x→0) (x-sin x)/x2，若直接应用洛必达法则，会陷入无穷循环。正确做法是先约分，再求导，最终得出极限为-1/6。当极限形式为“∞-∞”时，需通分转化为“0/0”或“∞/∞”。

问题二：无穷小比较在极限计算中的常见误区有哪些？

无穷小比较是极限计算的关键，但考生常因概念混淆出错。典型误区包括：将高阶无穷小直接等同于更小阶的无穷小，忽略指数幂的底数差异，或误用等价无穷小替换。例如，计算 lim(x→0) (ex-1-x)/x3，若误将 ex-1 替换为 x，则会导致错误。正确做法需展开泰勒级数，得到极限为 1/6。又如，比较 x2sin x 与 x3tan x，前者为 x2级，后者为 x3级，故前者为高阶无穷小。等价无穷小替换需注意极限点，且仅适用于乘除运算。

问题三：函数连续性与极限的关系如何证明？

函数连续性是极限的重要应用，证明时需结合定义。常见问题包括：忽略左极限与右极限的统一性，或错误拆分复合函数的极限。例如，证明 f(x) 在 x=0 处连续，需验证 lim(x→0) f(x) = f(0)。若 f(x) = x2sin(1/x) (x≠0), f(0)=0，需用夹逼定理证明极限为 0。又如，证明 g(x) = x 在 x=0 处连续，需分别计算左极限 x??=0 和右极限 x??=0，再结合 g(0)=0 得证。对于复合函数，如 h(x) = sin(x2)，需先求内函数极限，再代入外函数。若内函数极限不存在，则复合函数极限也不存在。