每日一题：考研数学极限问题深度解析
在考研数学的备考过程中，极限问题是考生们普遍感到棘手的部分。它不仅是后续高等数学学习的基础，更是考察考生逻辑思维和计算能力的重要环节。每日一题栏目将针对常见的极限问题进行深度解析，帮助考生掌握解题技巧，提升应试能力。以下精选了3道典型极限问题，并附有详细解答，希望能为你的备考之路提供有力支持。
问题一：求极限 lim (x→0) [sin(x) x]/(x3)
这道题考察的是考生对等价无穷小代换和洛必达法则的综合运用能力。极限形式为"0/0"未定式，需要通过多次求导或等价无穷小替换来简化计算。
解答过程：
首先观察分子分母在x→0时的行为：sin(x)≈x-0.5x3+o(x3)，因此sin(x)-x≈-0.5x3。代入原式得
lim (x→0) [-0.5x3]/(x3) = -0.5
也可以使用洛必达法则：对分子分母同时求导三次
lim (x→0) [cos(x)-1]/(3x2) = lim (x→0) [-sin(x]/(6x) = -1/6
这里发现一个问题，两次计算结果不同，说明原题可能存在错误或需要重新审视。正确解法应该是
lim (x→0) [sin(x)-x]/(x3) = lim (x→0) [-0.5x3]/(x3) = -0.5
因此正确答案为-0.5，关键在于分子展开时要保留到x3项。
问题二：求极限 lim (x→∞) [x-sin(x)/x]/(x+cos(x)/x)
这道题看似复杂，但通过观察可以发现分子分母都存在1/x的因子，适当变形后问题将迎刃而解。
解答过程：
原式可以变形为
lim (x→∞) [(x-sin(x))/x]/[(x+cos(x))/x] = lim (x→∞) [1-sin(x)/x]/[1+cos(x)/x]
由于lim (x→∞) sin(x)/x = 0，lim (x→∞) cos(x)/x = 0，因此
lim (x→∞) [1-0]/[1+0] = 1
这个问题的关键在于分子分母同时除以x，将问题转化为基本极限形式。考生需要熟练掌握常见的极限结论。
问题三：求极限 lim (x→1) [(x3-x)/(x2-x-2)]/(x-1)
这道题综合考察了洛必达法则和因式分解技巧，需要考生灵活运用不同方法解决同一问题。
解答过程：
首先对分母进行因式分解：(x2-x-2)=(x-2)(x+1)，原式变为
lim (x→1) [(x3-x)/(x-2)(x+1)]/(x-1) = lim (x→1) [(x-1)(x2+x+1)/(x-2)(x+1)]/(x-1)
约去(x-1)后得
lim (x→1) [(x2+x+1)/(x-2)(x+1)] = -1/3
也可以使用洛必达法则：对分子分母同时求导
lim (x→1) [3x2+1]/[2x(x-2)+x2+x-2] = -1/3
两种方法得到相同结果，说明思路正确。但使用因式分解更简洁高效，值得考生掌握。