24考研数学一填空题常见考点深度解析与真题实例

2024年考研数学一填空题作为考察考生基础知识和综合应用能力的重要环节，其难度和命题趋势备受关注。通过对历年真题的分析，我们发现填空题往往涉及高数、线代、概率三大模块的核心概念，且注重对细节的考查。本文将结合典型真题，深入解析填空题的常见问题，帮助考生精准把握答题要点。

常见问题与解答

问题一：极限计算中的等价无穷小替换常见错误

在2023年数学一第3题中，原题考查“当x→0时，函数f(x)=x?sinxsinx?tanx的等价无穷小”。部分考生因混淆“sinx”与“tanx”的等价无穷小（均为x）而误用，导致结果偏差。正确解答应如下展开：

分别用泰勒公式展开：sinx≈x?x3/6，tanx≈x+x3/3。代入原式得：f(x)≈x?(x?x3/6)(x+x3/3)≈x3/6?x3/3=x3/6。故等价无穷小为x3/6。关键点在于区分三角函数展开后的高阶项系数差异，不能简单套用“无穷小量相乘仍为无穷小”的结论。

问题二：隐函数求导中的偏导数计算易错点

2022年数学一第9题“设z=f(x,y)由方程x+y+exy=1确定，则?2z/?x2在点(0,0)的值为”。许多考生在求二阶偏导时忽略隐函数的链式法则，直接对偏导数求导。正确步骤如下：

对方程两边对x求偏导：1+xy'+yexy=0，得y'=-1/(x+exy)。在(0,0)处y'=-1。再对x求偏导：y''=-[1+exy+xyexy]/(x+exy)2，代入(0,0)得y''=-3。易错点在于未保留exy项的导数，导致符号错误。特别提醒，隐函数求导需始终对原方程两边操作，不能单独对偏导数求导。

问题三：旋转体体积计算中的定积分上下限设置

2021年数学一第12题“求曲线y=√x在[1,4]上绕y轴旋转所得旋转体的体积”。部分考生误将积分区间设为[0,4]，导致体积计算缩小。正确解法应先转化为x关于y的表达式x=y2，再使用二重积分公式：

体积V=∫₁²2πx dy=2π∫₁²y2 dy=7π。常见误区包括：①未将x=y2代入公式；②忘记乘2π；③区间设置错误。旋转体体积计算需明确旋转轴，并始终使用“母线长度×旋转周长”的几何意义理解积分过程。