考研数学：函数与极限的核心考点精讲

在考研数学的备考过程中，函数与极限是奠定整个高等数学基础的关键章节。无论是微积分的后续学习，还是概率统计中的极限定理，都离不开对函数性质和极限运算法则的深刻理解。本系列视频将系统梳理函数的连续性、间断点分类、极限存在性准则等核心知识点，通过典型例题解析帮助学生掌握极限计算的灵活技巧。特别注重培养考生数形结合的解题思维，避免陷入繁琐的公式推导误区。内容覆盖考研大纲的全部考点，适合基础薄弱但目标明确的同学系统学习。

常见考点解析

问题1：如何快速判断函数间断点的类型？

函数间断点的判断是考研数学中的高频考点，考生往往容易混淆可去间断点与跳跃间断点的定义。我们需要明确间断点的概念：若函数f(x)在x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但不相等，则称x=a为函数的间断点。根据极限是否存在，间断点可分为三大类：

第一，可去间断点。这类间断点最典型的特征是极限存在但函数值未定义，或者极限存在但函数值与极限值不相等。例如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处，由于1/x在0附近振荡无界，导致sin(1/x)极限不存在，因此x=0是无穷间断点。但若函数f(x)=x2sin(1/x)在x=0处，虽然f(0)未定义，但lim(x→0)f(x)=0，此时x=0为可去间断点。

第二，跳跃间断点。这类间断点表现为左右极限都存在但不相等。例如符号函数sgn(x)=x/x，在x=0处左极限为-1，右极限为1，形成跳跃间断。判断时需特别留意分段函数在衔接点的处理。

第三，无穷间断点。当左右极限趋于无穷大时出现，如f(x)=1/x在x=0处。这类间断点在极限计算中需要特别注意区分，因为洛必达法则对无穷间断点的适用条件与可去间断点完全不同。

解题技巧方面，建议考生掌握以下方法：对于分式函数，先约分消去不定型；对于根式函数，考虑分子有理化；对于三角函数，注意周期性特征。特别提醒，在判断间断点时一定要结合函数图像，很多同学容易忽略数形结合的解题方法，导致在复杂函数的间断点判断上频繁出错。

问题2：ε-δ语言证明极限的正确步骤是什么？

ε-δ语言是证明极限的数学严谨性要求，很多同学在备考时感到困难，主要原因是无法准确理解"任意ε>0，总存在δ>0"的逆向思维过程。下面我们通过例题解析这一证明方法的核心步骤：

从定义入手。根据ε-δ的定义，要证明lim(f(x)→A)当x→x?，需要满足：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0＜x-x?＜δ时，有f(x)-A＜ε。这个证明的关键在于将绝对值不等式f(x)-A＜ε转化为x-x?＜δ的形式。

以证明lim(x→2)(3x-1)=5为例，具体步骤如下：假设ε>0为任意正数，我们要求找到δ>0使得当0＜x-2＜δ时，有(3x-1)-5＜ε。首先对不等式进行等价变形：(3x-1)-5＜ε等价于3x-6＜ε，再转化为3(x-2)＜ε，最后得到x-2＜ε/3。此时取δ=ε/3，就能满足定义要求。

证明过程中常见的错误包括：忽视0＜x-x?这一条件，导致取δ时出现矛盾；将δ直接取为ε，没有体现δ与ε的依赖关系；在变形过程中随意改变不等式方向。特别提醒，证明时一定要从ε>0开始，最后得到的δ必须用ε表示，这是检验证明是否严谨的标准。

解题技巧方面，建议采用"目标导向"法：先写出要证明的不等式，再逐步向x-x?＜δ的形式转化。对于复合函数，建议从外层函数开始逐步向内层函数拆解。要特别掌握常见函数的ε-δ证明套路，如指数函数、对数函数的证明，这些题型都有固定的变形技巧，掌握了套路后能显著提高解题效率。

问题3：函数极限与数列极限的关系如何应用？

函数极限与数列极限的关系是考研数学中的重点内容，两者之间的桥梁——海涅定理，在证明函数连续性和判断极限存在性时发挥着重要作用。理解这一关系不仅有助于解决抽象的极限问题，还能为后续的级数收敛性判断打下基础。

根据海涅定理，函数f(x)在x→x?处的极限存在且等于A，当且仅当对于x?的任意邻域内（x?点除外）的任意收敛于x?的数列{xn