那些让你看懂答案却不会做的考研数学题
在考研数学的备考过程中，很多同学会遇到一种尴尬的情况：看到标准答案时，觉得解题思路清晰，步骤也明白，但自己却怎么也想不到解题的突破口。这类问题往往涉及知识的综合运用和灵活转换，看似简单，实则考察的是考生对基础概念的深刻理解和解题技巧的熟练掌握。下面，我们就来梳理几类典型的这类问题，并详细解析其解题思路，帮助大家突破思维瓶颈。
问题一：函数零点与方程根的混淆问题
函数零点与方程根是考研数学中的常考点，很多同学在区分两者时容易混淆，导致解题方向错误。这类问题往往涉及连续函数的零点定理、罗尔定理等知识点，需要考生结合图像和代数计算综合分析。
问题描述
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且满足f(a)=f(b)。证明：在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
答案解析
要证明在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0，我们可以利用罗尔定理。根据题意，f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。罗尔定理的条件已经满足，因此可以直接应用罗尔定理。
根据罗尔定理，存在至少一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。这个c点就是我们要找的点，它满足f'(c)=0。这个结论告诉我们，在连续函数f(x)上，如果两端点的函数值相等，那么在中间一定存在一个点，使得函数在该点的导数为0。
这个结论在考研数学中有很多应用，比如证明方程根的存在性、研究函数的极值等。在解题时，我们需要注意区分函数零点和方程根的概念，函数零点是指函数值为0的点，而方程根是指使方程成立的未知数的值。虽然两者有联系，但并不是同一个概念。
通过这个问题的解答，我们可以看到，理解并掌握罗尔定理是解决这类问题的关键。在备考过程中，我们需要注重基础知识的理解和应用，通过多做题、多总结，提高解题能力。
问题二：定积分的应用题
定积分的应用题是考研数学中的重点和难点，很多同学在解题时容易出错，主要原因是不能正确建立积分表达式，或者计算过程出错。这类问题往往涉及几何、物理等方面的应用，需要考生具备较强的综合分析能力。
问题描述
求由曲线y=lnx和直线x=1，x=e所围成的平面图形的面积。
答案解析
要求由曲线y=lnx和直线x=1，x=e所围成的平面图形的面积，我们可以利用定积分来计算。我们需要确定积分区间和被积函数。
根据题意，积分区间为[1,e]，被积函数为y=lnx。因此，所求面积S可以表示为：
S = ∫[1,e] lnx dx
接下来，我们需要计算这个定积分。由于lnx的原函数是xlnx-x，因此：
S = [xlnx-x] [1,e] = (eln(e)-e) (1ln(1)-1) = (e-e) (0-1) = 1
因此，由曲线y=lnx和直线x=1，x=e所围成的平面图形的面积为1。
这个问题的解答告诉我们，计算定积分的关键是正确建立积分表达式，并熟练掌握基本积分公式。在解题时，我们需要注意积分区间的确定和被积函数的选择，同时要保证计算过程的准确性。
通过这个问题的解答，我们可以看到，定积分的应用题需要考生具备较强的综合分析能力，能够将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识解决。在备考过程中，我们需要注重实际应用能力的培养，通过多做题、多总结，提高解题能力。
问题三：级数敛散性的判断问题
级数敛散性的判断是考研数学中的常考点，很多同学在解题时容易出错，主要原因是不能正确运用级数敛散性的判别法，或者对级数性质的理解不够深入。这类问题往往涉及正项级数、交错级数、绝对收敛等概念，需要考生具备较强的逻辑推理能力。
问题描述
判断级数∑[n=1,∞] (-1)(n+1) (n+1) / (2n+1)的敛散性。
答案解析
要判断级数∑[n=1,∞] (-1)(n+1) (n+1) / (2n+1)的敛散性，我们可以考虑使用交错级数判别法（Leibniz判别法）。我们需要检查这个级数是否满足交错级数判别法的条件。
根据题意，这个级数的一般项为a_n = (-1)(n+1) (n+1) / (2n+1)。我们可以看到，这个级数是交错的，因为每一项的符号都交替出现。因此，我们可以考虑使用交错级数判别法来判断它的敛散性。
根据交错级数判别法，如果级数的一般项a_n满足以下两个条件：
- lim[n→∞] a_n = 0
- a_n是单调递减的
那么这个交错级数是收敛的。因此，我们需要检查这两个条件是否满足。
我们来计算lim[n→∞] a_n。由于a_n = (n+1) / (2n+1)，因此：
lim[n→∞] a_n = lim[n→∞] (n+1) / (2n+1) = lim[n→∞] (1 + 1/n) / (2 + 1/n) = 1/2
由于lim[n→∞] a_n = 1/2 ≠ 0，因此这个级数不满足交错级数判别法的条件，即这个级数是发散的。
这个问题的解答告诉我们，判断级数敛散性需要根据级数的类型选择合适的判别法。对于交错级数，我们可以使用交错级数判别法来判断它的敛散性。在解题时，我们需要注意检查级数是否满足判别法的条件，并正确运用判别法进行判断。
通过这个问题的解答，我们可以看到，级数敛散性的判断需要考生具备较强的逻辑推理能力，能够根据级数的类型选择合适的判别法，并正确运用判别法进行判断。在备考过程中，我们需要注重级数性质的理解和判别法的掌握，通过多做题、多总结，提高解题能力。