考研数学中的核心考点：精选必做题解析

考研数学作为研究生入学考试的必考科目，其难度和广度都相当高。许多考生在备考过程中感到迷茫，不知道哪些题目是真正需要重点掌握的。本文从历年真题和经典教材中挑选了3-5道必做题，并对其进行详细解析，帮助考生理解核心考点，提升解题能力。这些题目不仅覆盖了考研数学的主要知识点，还体现了常见的出题思路和技巧，非常适合考生反复练习和深入研究。

问题一：函数极限的计算与证明

在考研数学中，函数极限的计算和证明是基础且重要的部分。这类题目往往涉及多种极限计算方法，如洛必达法则、夹逼定理等。下面以一道典型题目为例，进行详细解析。

题目：计算极限 lim (x→0) [ (sin x) / x ] [ (1 cos x) / x2 ]。

答案：这道题看似复杂，但通过合理的变形可以简化计算。我们知道当 x→0 时，sin x ≈ x，1 cos x ≈ x2 / 2。因此，可以将原式拆分为两个部分：

lim (x→0) [ (sin x) / x ] [ (1 cos x) / x2 ] = lim (x→0) [ (sin x) / x ] lim (x→0) [ (1 cos x) / x2 ]。

对于第一个极限，直接应用洛必达法则，得到：

lim (x→0) [ (sin x) / x ] = 1。

对于第二个极限，同样使用洛必达法则，得到：

lim (x→0) [ (1 cos x) / x2 ] = lim (x→0) [ (sin x) / 2x ] = 1/2。

因此，原式的极限为 1 1/2 = 1/2。这个结果也可以通过泰勒展开式来验证，当 x→0 时，sin x ≈ x x3/6，1 cos x ≈ x2/2，代入原式后也可以得到相同的结果。

问题二：多元函数的偏导数与全微分

多元函数的偏导数与全微分是考研数学中的另一重要考点，这类题目通常涉及复合函数、隐函数的求导，以及全微分的计算。下面以一道典型题目为例，进行详细解析。

题目：设 z = x2 y + y2，其中 x = sin t，y = cos t，求全微分 dz。

答案：这道题需要先求出 z 对 x 和 y 的偏导数，然后再代入 x 和 y 的表达式，最后计算全微分。我们求 z 对 x 和 y 的偏导数：

?z/?x = 2xy，?z/?y = x2 + 2y。

由于 x = sin t，y = cos t，代入后得到：

?z/?x = 2sin t cos t = sin 2t，?z/?y = sin2 t + 2cos t。

接下来，计算全微分 dz：

dz = ?z/?x dx + ?z/?y dy = sin 2t cos t + (sin2 t + 2cos t) (-sin t) dt。

化简后得到：

dz = (sin 2t cos t sin3 t 2sin t cos t) dt = (-sin3 t cos t sin t) dt。

这个结果也可以通过直接代入 x 和 y 的表达式，然后求全微分来验证。通过这种方法，考生可以更深入地理解多元函数的偏导数和全微分的计算方法。

问题三：定积分的计算与应用

定积分的计算与应用是考研数学中的另一大重点，这类题目通常涉及各种积分技巧，如换元积分、分部积分等。下面以一道典型题目为例，进行详细解析。

题目：计算定积分 ∫[0, π/2] (sin x / (1 + cos x)) dx。

∫[0, π/2] (sin x / (1 + cos x)) dx = ∫[2, 1] (-1 / u) du = ∫[1, 2] (1 / u) du。

接下来，计算这个简单的积分：

∫[1, 2] (1 / u) du = [ln u] [1, 2] = ln 2 ln 1 = ln 2。

这个结果也可以通过分部积分法来验证，但换元积分法更为简洁。通过这种方法，考生可以更深入地理解定积分的计算技巧，并掌握各种积分方法的适用场景。