考研数学每日一题：函数零点与导数应用深度解析

在考研数学的备考过程中，函数零点与导数应用是常考的核心知识点。郭伟考研数学每日一题系列通过精选典型问题，帮助考生系统掌握相关理论。今天我们聚焦一道涉及连续函数零点定理和罗尔定理的综合题，深入探讨解题思路与技巧。这类问题不仅考察基础概念，更注重逻辑推理能力，是拉开分数的关键。

问题精选与解答

问题1：函数零点存在性问题

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)。若存在点c∈(0,1)使得f(c)=0，证明：必存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)·f(ξ+1)=0。

【答案】根据题意，f(x)在[0,1]连续且f(0)=f(1)，由连续函数零点定理，若存在c∈(0,1)使f(c)=0，则命题得证。但需更严谨的证明：构造辅助函数g(x)=f(x)·f(x+1)，则g(x)在[0,1]连续。关键在于分析g(0)与g(1)的符号关系。由f(0)=f(1)，得g(0)=f(0)·f(1)=0。而g(1)=f(1)·f(2)，需讨论f(2)的取值。若f(2)≠0，则g(1)≠0；若f(2)=0，则命题已成立。因此，分两种情况：当f(2)≠0时，g(0)=0且g(1)≠0，由零点定理，必存在ξ∈(0,1)使g(ξ)=0，即f(ξ)·f(ξ+1)=0；当f(2)=0时，取ξ=1即满足条件。综合可得结论成立。

问题2：罗尔定理与导数零点

设函数f(x)在[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且f(-1)=f(1)。若存在点a∈(-1,1)使得f(a)≥f(0)，证明：必存在μ∈(-1,1)，使得f'<>(μ)=0。

【答案】此题需结合罗尔定理和费马引理。由f(-1)=f(1)，根据罗尔定理，存在至少一点b∈(-1,1)使f'(b)=0。但需证明存在多个导数零点或更精确的零点。构造函数g(x)=f(x)-f(a)，则g(-1)=g(1)=f(1)-f(a)≥0（因f(a)≥f(0)且f(1)=f(-1)）。由最值定理，g(x)在(-1,1)内取到最大值，设最大值点为μ。若μ在端点，则g'(μ)≤0；若μ在内部，则由费马引理，f'<>(μ)=0。进一步分析发现，当g(0)≥0时，必存在μ∈(-1,1)使f'<>(μ)=0。具体证明如下：若g(0)≥0，则μ=0或μ靠近0；若g(0)<0，则μ在(-1,0)或(0,1)区间，此时g(x)在(-1,1)内必存在异号端点，由连续函数零点定理，必存在ν∈(-1,1)使g'(ν)=0。因此命题成立。

问题3：隐函数求导与极值问题

设函数y=y(x)由方程x3+y3-3axy=0确定，且y(0)=0。求曲线在点(1,1)处的法线方程，并讨论该点是否为极值点。

【答案】首先对方程两边对x求导，得3x2+3y2y'-3ay-3axy'=0。代入点(1,1)，得3+3y'-3a-3a=0，解得y'=-1。因此法线斜率为1，法线方程为y-1=1(x-1)，即y=x。关于极值讨论，需计算二阶导。继续对原方程求导，得6x+6yy''-3a2y-3ay'-3axy'=0。代入(1,1)和y'=-1，得6+6y''-3a2-3a+3a=0，化简得y''=-1。因y''<0，故(1,1)处为极大值点。完整解答需补充a的取值，由原方程x=1,y=1时，1+1-3a=0，得a=2/3。最终结论：(1,1)处法线方程为y=x，且为极大值点。