考研极限数学中的经典问题深度解析

考研极限数学是许多考生备考过程中的难点，其中经典问题的解答不仅考验基础知识，更考验逻辑思维和应变能力。本文精选了3-5道考研极限数学中的典型问题，结合详细解析和步骤，帮助考生理解解题思路，掌握核心方法。这些问题涵盖了极限计算、函数连续性、无穷级数等多个重要考点，通过深入分析，考生可以更好地应对考试中的类似题型。每道题目的解答都力求详尽，不仅给出最终答案，还注重过程讲解，确保考生能够举一反三。

问题一：极限计算问题

问题：求极限 lim (x→0) (sin x / x) (1 / (1 cos x))。

解答：这道题看似简单，但需要考生熟练掌握极限的基本性质和常用公式。我们知道当 x→0 时，sin x / x 的极限为 1，这是极限计算中的一个重要结论。然而，本题中还有一个 1 / (1 cos x) 的分母，需要进一步处理。

我们可以利用泰勒展开式来简化计算。根据泰勒公式，当 x→0 时，cos x 可以近似为 1 x2/2。因此，1 cos x ≈ x2/2。将这个近似代入原式，得到：

lim (x→0) (sin x / x) (1 / (1 cos x)) ≈ lim (x→0) (sin x / x) (2 / x2)

由于 sin x / x 在 x→0 时的极限为 1，因此上式可以进一步简化为：

lim (x→0) (2 / x2) = 2 lim (x→0) (1 / x2)

这里需要注意，x→0 时，1 / x2 趋向于无穷大，因此原式的极限不存在。但如果我们考虑更精确的泰勒展开，cos x 的更高阶项，可以发现原式的极限实际上是 2。这个结论需要考生对泰勒展开有更深入的理解。

问题二：函数连续性问题

问题：讨论函数 f(x) = x2 sin (1 / x) 在 x=0 处的连续性。

解答：函数的连续性是考研极限数学中的另一个重要考点。要讨论 f(x) 在 x=0 处的连续性，我们需要检查三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值。

f(x) 在 x=0 处有定义吗？显然，f(0) = 02 sin (1 / 0) 是没有意义的，因为 sin (1 / 0) 不存在。因此，f(x) 在 x=0 处没有定义，自然不满足连续性的第一个条件。

但是，我们还可以进一步讨论极限是否存在。根据极限的定义，我们需要计算 lim (x→0) x2 sin (1 / x)。由于 sin (1 / x) 的值在 -1 和 1 之间波动，因此 x2 sin (1 / x) 的值在 -x2 和 x2 之间波动。当 x→0 时，-x2 和 x2 都趋向于 0，因此根据夹逼定理，lim (x→0) x2 sin (1 / x) = 0。

虽然极限存在，但 f(x) 在 x=0 处没有定义，因此根据连续性的定义，f(x) 在 x=0 处不连续。然而，我们可以通过补充定义，让 f(x) 在 x=0 处连续。例如，定义 f(0) = 0，那么修改后的函数在 x=0 处就是连续的。

问题三：无穷级数问题

问题：判断级数 ∑ (n=1 to ∞) (n / 2n) 的收敛性。

解答：无穷级数的收敛性是考研极限数学中的另一个重要考点。判断级数的收敛性，有多种方法，如比值判别法、根值判别法、比较判别法等。对于本题，我们可以使用比值判别法。

比值判别法的具体步骤是：计算 lim (n→∞) a_(n+1) / a_n，其中 a_n 是级数的通项。如果这个极限小于 1，则级数收敛；如果大于 1，则级数发散；如果等于 1，则无法判断。

对于本题，a_n = n / 2n，因此 a_(n+1) = (n+1) / 2(n+1)。计算比值：

a_(n+1) / a_n = (n+1) / 2(n+1) / (n / 2n) = (n+1) / 2(n+1) 2n / n = (n+1) / 2n = (1 + 1/n) / 2

当 n→∞ 时，1/n 趋向于 0，因此上式趋向于 1/2。由于 1/2 小于 1，根据比值判别法，级数 ∑ (n=1 to ∞) (n / 2n) 收敛。

这个结论也可以通过其他方法验证，例如使用等比级数的性质。由于 2n 的增长速度远大于 n，因此 n / 2n 的值会越来越小，级数自然会收敛。