考研数学：数量级三大迷思，高分突破关键解析

考研数学中，数量级问题常常让考生感到困惑，尤其是极限、连续性和级数三大板块。这些知识点不仅理论性强，还涉及复杂的计算技巧。许多同学在复习时容易陷入误区，比如对无穷小阶数理解不清、级数收敛性判断失误等。本篇笔记精华版将聚焦这些常见问题，用通俗易懂的方式解析核心概念，帮助考生建立清晰的知识框架，避免在考试中因细节疏漏而失分。

常见问题解答

1. 无穷小量的阶数如何判断？

无穷小量的阶数是考研数学中的一个重点，也是很多同学的难点。在复习时，我们需要明白无穷小量的阶数反映了不同函数在趋近于零时的“速度”差异。比如，当x→0时，x2和x都是无穷小量，但x2是比x高阶的无穷小量。判断方法主要有两种：一是通过等价无穷小替换，二是利用洛必达法则计算极限。举个例子，比如要比较x2和sin x在x→0时的阶数，我们可以直接计算极限lim(x→0) x2/sin x，由于sin x与x等价，所以极限值为0，说明x2是比sin x高阶的无穷小量。再比如，比较x2和ln(1+x)的阶数，可以计算lim(x→0) x2/ln(1+x)，利用洛必达法则两次后得到1，说明它们是同阶无穷小量。同阶不等价的无穷小量需要进一步分析，比如x2和x3都是无穷小量，但它们不是同阶的。

2. 级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研数学中另一个常考点，常见的级数类型包括正项级数、交错级数和一般级数。对于正项级数，常用的判别方法有比较判别法、比值判别法和根值判别法。比较判别法需要记住几个常见的比较级数，比如p级级数∑(n(-p))，当p>1时收敛，p≤1时发散。比值判别法适用于通项中含有阶乘或指数的级数，通过计算lim(n→∞) (a(n+1)/a(n))来判断收敛性。根值判别法则适用于通项中含有n次幂的级数，计算lim(n→∞) √(a(n))。举个例子，比如级数∑(n/(n+1)(n+1))，可以用比值判别法计算，得到极限值为1/e，小于1，所以级数收敛。对于交错级数，常用的判别法是莱布尼茨判别法，即如果通项的绝对值单调递减且趋于0，则级数收敛。一般级数则需要判断其绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。判别方法的选择要根据级数的具体形式灵活运用，不能生搬硬套。

3. 函数连续性的判断技巧有哪些？

函数连续性是考研数学中的基础概念，但很多同学在判断函数连续性时会遇到困难。判断一个函数在某点是否连续，需要验证三个条件：函数在该点有定义、极限存在且等于函数值。对于分段函数，重点在于分段点的连续性判断。比如，函数f(x) = {x2, x≤1; 2x, x>1