考研数学每日一题：极限中的常见陷阱与应对策略

在考研数学的备考过程中，极限是考生必须攻克的重点难点之一。极限问题不仅考察基础概念，还常常与连续性、导数等知识点结合，迷惑性极强。很多同学在练习时容易陷入思维误区，比如对"无穷小量"的理解偏差、对"ε-δ"定义的掌握不牢，或是忽略分段函数在衔接点的极限判断。这些问题看似简单，却往往是失分的关键。本文精选了5道典型极限题目，通过详细解析，帮助大家识别常见错误，掌握解题技巧，避免在考场上因小失大。

问题一：无穷小量的比较与极限计算

已知lim(x→0) [f(x)sin(x)/x] = 2，且f(x)在x=0处可导，求f'(0)的值。

答案：这道题看似简单，但很多同学会直接套用洛必达法则，得到f'(0)lim(x→0) [sin(x)/x] = 2，从而误认为f'(0)=2。这种做法忽略了f(x)在x=0处连续性的隐含条件。正确解法是：根据极限定义，lim(x→0) [f(x)sin(x)/x] = lim(x→0) [f(x)sin(x)/sin(x)] = lim(x→0) f(x) = 2。再由导数定义f'(0) = lim(x→0) [f(x)/x] = 2。关键在于要明确无穷小量比较时的等价替换条件，不能盲目使用洛必达法则。

问题二：分段函数的极限判断

设f(x) = {x2sin(1/x), x≠0; 0, x=0，讨论lim(x→0) f(x)

答案：这道题考察分段函数极限的连续性判断。很多同学会忽略x=0处的函数值，直接计算左极限lim(x→0-) [x2sin(1/x)] = 0和右极限lim(x→0+) [x2sin(1/x)] = 0，就得出结论认为极限存在。这种做法错误在于混淆了左右极限与整体极限的概念。根据极限定义，当x趋近于0时，无论从左还是从右，f(x)都无限接近于0，但必须验证x=0处的函数值是否等于极限值。这里f(0)=0，所以lim(x→0) f(x) = 0。但若将f(0)改为1，则极限不存在。这提醒我们讨论分段函数极限时，一定要同时考虑左右极限和函数值的一致性。

问题三：ε-δ语言的理解与应用

用ε-δ语言证明lim(x→2) [x2-4]/[x-2] = 4

答案：这道题是典型的ε-δ证明题，但很多同学会写出错误证明：对任意ε>0，存在δ>0，当0

问题四：抽象函数的极限计算

设f(x)满足f(x+y) = f(x)+f(y)，且f(x)在x=0处连续，求证f(x)在任意点x处可导，且f'(x) = f'(0)

答案：这道题看似抽象，但考查的是函数方程的极限性质。很多同学会想到利用导数定义直接证明，但难以找到f(x)与f(0)的关系。正确解法是：先利用连续性求f(0)=0，然后令y→0，得到f(x)的线性性质。再根据导数定义f'(x) = lim(y→0) [f(x+y)-f(x)/y] = lim(y→0) [f(y)/y] = f'(0)。这表明f(x)是线性函数，其导数恒为常数。关键在于要善于将抽象条件具体化，通过换元法建立f(x)与f(0)的联系。这类题目往往需要结合连续性、可导性等条件，才能找到解题突破口。

问题五：无穷多个无穷小的和的极限

求lim(n→∞) [1+1/2+1/3+...+1/n-nln(n)]

答案：这道题是典型的无穷小和的极限问题，很多同学会尝试用积分比较法，但容易忽略对数函数的主导项分析。正确解法是：利用调和级数渐近公式1/1+1/2+...+1/n ≈ ln(n)+γ（γ为欧拉常数），则原式≈ln(n)+γ-nln(n) = -(n-1)ln(n)+γ。当n→∞时，主导项为-nln(n)，所以极限为-∞。但若改为求lim(n→∞) [(1+1/2+...+1/n)/n]，则结果为ln(2)。这提醒我们处理无穷小和时，必须关注各项的增长速度。特别要注意对数函数、指数函数等特殊函数的主导作用，不能盲目套用发散判别法。