考研数学武忠祥每日一题精解：函数零点与导数应用的深度剖析

在考研数学的备考过程中，函数零点与导数应用是常考常新的知识点，也是许多考生容易混淆的难点。武忠祥老师的每日一题系列，通过精选典型例题，深入浅出地揭示了这类问题的本质。今天，我们就来聚焦这一主题，通过具体问题的解答，帮助大家厘清思路，掌握解题的关键。

常见问题解答

问题一：如何判断函数零点的存在性？

在考研数学中，判断函数零点的存在性是基础也是难点。通常，我们可以通过以下几个步骤来分析：

• 观察函数的定义域，确保在讨论的区间内函数是连续的。
• 利用中值定理，如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在(a, b)内至少存在一个零点。
• 再次，借助导数分析函数的单调性，通过导数的符号变化来确定零点的分布。
• 结合图像直观判断，很多情况下，画出函数的草图能帮助我们快速找到零点的大致位置。

例如，对于函数f(x) = x3 3x + 1，我们可以先计算f(-2)和f(2)的值，发现它们异号，因此根据中值定理，在(-2, 2)内存在至少一个零点。进一步，通过求导f'(x) = 3x2 3，我们可以找到驻点x = ±1，分析导数的符号变化，就能确定零点的具体位置。

问题二：导数在求解最值问题中有哪些应用技巧？

导数在求解最值问题中的应用非常广泛，也是考研数学中的高频考点。一般来说，我们可以按照以下步骤进行：

• 确定函数的定义域，这是求解最值的前提。
• 求出函数的导数，通过导数的零点和不可导点来确定可能的极值点。
• 然后，比较极值点处的函数值和端点处的函数值，从而确定最值。
• 注意区分最大值和最小值，特别是在开放区间内求解时，要结合导数的符号变化来判断。

以函数f(x) = x3 6x2 + 9x + 1为例，其导数为f'(x) = 3x2 12x + 9。通过解方程f'(x) = 0，我们可以找到驻点x = 1和x = 3。进一步，通过二阶导数检验或观察导数的符号变化，可以确定x = 1是极大值点，x = 3是极小值点。计算f(1)和f(3)的值，并与端点值进行比较，就能得到函数的最值。

问题三：如何利用导数证明不等式？

利用导数证明不等式是考研数学中的一种重要方法，其核心思想是通过导数分析函数的单调性，从而得出不等式的成立。一般来说，我们可以按照以下步骤进行：

• 构造一个辅助函数，通常是将不等式的一边移项后形成的函数。
• 求出辅助函数的导数，通过导数的符号变化来确定函数的单调性。
• 然后，根据函数的单调性，结合边界条件，推导出不等式的成立。
• 注意验证边界条件是否满足，确保推导过程的严谨性。

例如，要证明当x > 0时，ln(1 + x) > x x2/2。我们可以构造辅助函数f(x) = ln(1 + x) x + x2/2，然后求导f'(x) = 1/(1 + x) 1 + x。通过分析导数的符号变化，可以发现f(x)在x = 0时取得极小值，且f(0) = 0。因此，当x > 0时，f(x) > 0，即原不等式成立。