考研数学真题87-08年高频考点深度解析与应对策略

在考研数学的备考过程中，历年真题是考生最为重要的参考资料之一。特别是1987年至2008年的真题，涵盖了大量的核心考点和典型题型，是考生检验学习效果、提升解题能力的宝贵资源。这些真题不仅反映了考试命题的趋势，还体现了数学知识点的综合应用。本文将结合历年真题，对其中出现频率较高的几个问题进行深入剖析，并提供切实可行的解题策略，帮助考生更好地应对考试挑战。

常见问题解答与解析

问题一：函数极限的计算方法有哪些？以1999年真题为例进行分析。

函数极限的计算是考研数学中的高频考点，常见的方法包括洛必达法则、等价无穷小替换、重要极限以及分解法等。以1999年数学一试卷中的题目为例，题目要求计算极限 lim(x→0) [x sin(x)/x3]。直接代入会出现0/0型未定式，此时可以考虑使用洛必达法则。首先对分子分母分别求导，得到 lim(x→0) [1 cos(x)/(3x2)]。再次应用洛必达法则，得到 lim(x→0) [sin(x)/(6x)]，继续计算可得结果为1/6。考生还可以通过泰勒展开式sin(x) ≈ x x3/6 + o(x3)来简化计算，从而快速得到答案。这种方法的优点在于能够将复杂的极限问题转化为简单的代数运算，但需要注意适用条件的判断。

问题二：定积分的应用题如何求解？以2004年真题为例。

定积分的应用题在考研数学中占据重要地位，常见题型包括求面积、旋转体体积、弧长等。2004年数学二试卷中有一道关于曲线围成面积的问题，题目要求计算由抛物线y=2x-x2与直线y=2x-4所围成的图形的面积。解决这类问题的基本步骤是：首先确定积分区间，通过解方程组2x-x2=2x-4得到交点坐标(0,0)和(4,4)；然后确定被积函数，由于y=2x-4在y=2x-x2之上，所以被积函数为(2x-4)-(2x-x2)；最后计算定积分∫[0,4] (2x-x2-(2x-4))dx，得到结果为8/3。值得注意的是，当被积函数在积分区间内分段时，需要将积分区间拆分为多个子区间分别计算。考生还可以利用几何图形的对称性简化计算过程，提高解题效率。

问题三：多元函数微分学的应用有哪些？以2007年真题为例。

多元函数微分学在考研数学中不仅考查基本概念和计算，还涉及实际应用问题，如最值求解、方向导数等。2007年数学一试卷中有一道关于多元函数在约束条件下求极值的问题，题目要求在椭球面x2+y2+z2=1上求函数u=x+y+z的最大值。这类问题通常采用拉格朗日乘数法解决。首先构造拉格朗日函数L(x,y,z,λ)=x+y+z+λ(x2+y2+z2-1)，然后求解方程组?L/?x=1+2λx=0，?L/?y=1+2λy=0，?L/?z=1+2λz=0，?L/?λ=x2+y2+z2-1=0。解得x=y=z=1/√3，λ=-1/2。将这个点代入目标函数可得最大值为√3。值得注意的是，拉格朗日乘数法的关键在于正确构造拉格朗日函数，并熟练掌握偏导数的计算。考生还需要注意检验驻点是否为极值点，特别是在实际问题中往往需要结合几何意义进行判断。