考研数学300题与660题核心考点精解：难点突破与高分技巧

考研数学300题和660题是备考中的两大利器，前者侧重基础，后者强化拔高。但不少考生在刷题时仍会遇到概念模糊、解题思路卡壳等问题。本文精选了三道典型问题，从高数、线代、概率三大模块入手，结合官方解析与实战技巧，帮助考生扫清障碍。每道题的解答均超过300字，力求以通俗易懂的方式厘清易错点，适合不同阶段的考生参考。

问题一：高数——泰勒公式在极值证明中的应用误区

不少同学在做泰勒展开题时，常因余项符号判断错误导致结论失误。例如证明某函数在x=0处取得极值时，若直接套用二阶泰勒公式，需严格验证f''(0)是否为0且三阶导数非零，但部分考生忽略高阶导数符号对极值的影响。

答案：以f(x)=ex为例，若仅展开至x3项，则f(x)≈1+x+x2/2+x3/6+o(x3)，此时f'(0)=1≠0，无法直接判断极值。正确做法需展开至x?项，f(x)=1+x+x2/2+x3/6+x?/24+o(x?)，此时f'(0)=1，f''(0)=1，f'''(0)=1/2，f?(0)=1/24。根据极值判定定理，当f''(0)≠0时，若f''(0)>0则左侧邻域增，右侧减，为极小值；反之亦然。但若f''(0)=0（如本题），需看更高阶导数符号，奇数阶非零时无极值，偶数阶决定极大/小。因此ex在x=0处无极值。考生易错点在于未关注f''(0)=0时的更高阶项，盲目套用结论。

问题二：线代——特征值反求矩阵中的系数关系

在矩阵特征值反求题目中，部分考生对"特征多项式首项系数为1"这一隐含条件理解不深，导致计算时引入冗余变量。例如给定矩阵A，若已知其特征值为λ?,λ?,λ?，要求a?,a?,a?系数，需利用det(λI-A)=0构建三次方程。

答案：设A=diag(a?,a?,a?)，特征多项式P(λ)=λ3-a?λ2-a?λ-a?=(λ-λ?)(λ-λ?)(λ-λ?)。根据根与系数关系，a?=λ?+λ?+λ?（迹），a?=λ?λ?+λ?λ?+λ?λ?（未定系数法），a?=λ?λ?λ?（常数项）。典型错误如将P(λ)误写为λ3+a?λ2+...，忽略首项系数为1的规范。若A非对角，需用相似变换S?1AS=P，此时a?=tr(A)=λ?+λ?+λ?，但a?需通过(λI-A)行列式按行展开计算。建议考生牢记特征多项式标准形式，避免因符号错误导致结果偏差。

问题三：概率——条件概率与全概率公式的混用场景

在求解复杂事件概率时，部分考生混淆条件概率与全概率公式适用边界，例如在贝叶斯定理应用中错误将条件概率当全集处理。典型场景是求"已知事件B发生，事件A发生的概率"，此时应直接用P(AB)=P(AB)/P(B)，而非盲目套用全概率。

答案：以抽签问题为例，袋中有3白2黑球，不放回抽取两次，求"第二次抽到白球"的概率。直接计算P(第二次白)=C(3,1)/C(5,2)=3/10，也可用全概率：设B?=第一次白，B?=第一次黑，则P(第二次白)=P(B?)P(第二次白B?)+P(B?)P(第二次白B?)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5。错误做法如用条件概率公式计算P(B?第二次白)=P(B?第二次白)/P(第二次白)，此时需先算P(第二次白)=3/5，再求P(B?第二次白)=6/20，得到P(B?第二次白)=1。考生易错点在于：①忽略全概率中完备事件组要求；②将条件概率当无条件概率处理。建议牢记全概率适用于"结果分阶段"问题，条件概率适用于"已知某条件求概率"问题，可借助文氏图辅助理解。