2020考研数学二常见考点深度解析与解题技巧
2020年的考研数学二考试中，许多考生在备考过程中遇到了各种各样的问题，尤其是涉及到高等数学、线性代数和概率统计的部分。为了帮助考生更好地理解和掌握这些知识点，我们整理了几个常见的考点问题，并提供了详细的解答和解析。这些问题不仅涵盖了考试的重点和难点，还结合了实际解题技巧，希望能够帮助考生在考试中取得更好的成绩。以下是对几个典型问题的解答，希望能够为你的备考提供一些参考。
问题一：定积分的应用——求平面图形的面积
在考研数学二的试卷中，定积分的应用是经常出现的考点之一。很多考生在求解平面图形的面积时，往往不知道如何正确设置积分区间和被积函数。这里我们通过一个具体的例子来详细讲解。
【问题】求曲线y=x2和y=2x-x2所围成的平面图形的面积。
【解答】我们需要找到两条曲线的交点。将y=x2和y=2x-x2联立，得到方程x2=2x-x2，化简后得到2x2-2x=0，解得x=0或x=1。因此，两条曲线的交点为(0,0)和(1,1)。
接下来，我们需要确定积分区间。由于曲线在x=0到x=1之间相交，因此积分区间为[0,1]。被积函数应该是两条曲线的差值，即2x-x2-x2=2x-2x2。
我们计算定积分：∫01(2x-2x2)dx。首先计算原函数，(2x-2x2)的原函数为x2-x3。然后代入积分区间，得到(x2-x3)01=1-1=0。因此，所围成的平面图形的面积为0。
这里的结果为0是因为我们在计算时没有考虑绝对值。实际上，正确的面积应该是∫012x-2x2dx，这个积分需要分成两部分来计算，分别是∫01/2(2x-2x2)dx和∫1/21(2x2-2x)dx。最终的结果是1/6。
问题二：线性代数中的特征值与特征向量
线性代数是考研数学二的另一个重要组成部分，其中特征值与特征向量的概念和计算是很多考生感到困惑的地方。下面我们通过一个实例来解析这个问题。
【问题】已知矩阵A=???100110011???，求矩阵A的特征值和特征向量。
【解答】我们需要求出矩阵A的特征值。特征值可以通过求解特征方程λI-A=0来得到，其中I是单位矩阵，λ是特征值。将矩阵A代入特征方程，得到：
λI-A=???λ-100-1-100-1???
要使这个矩阵等于零矩阵，我们需要解以下方程组：
λ-1=0
-1-λ=0
-1-λ=0
解这个方程组，得到λ=1。因此，矩阵A的特征值为1。
接下来，我们需要求出对应的特征向量。特征向量可以通过求解方程组(A-λI)x=0来得到，其中x是特征向量。将λ=1代入方程组，得到：
(A-I)x=???00-1-100-1??????x?x?x????=???00???
解这个方程组，得到x?和x?可以是任意值，而x?必须为0。因此，特征向量的通解为???x?x?0???，其中x?和x?是任意常数。
特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。在考研数学二中，掌握特征值和特征向量的计算方法对于解决相关问题非常重要。
问题三：概率统计中的条件概率与独立性
概率统计是考研数学二的另一个重要组成部分，其中条件概率与独立性的概念和计算是很多考生感到困惑的地方。下面我们通过一个实例来解析这个问题。
【问题】已知事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.6，P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，求P(AB)和P(A∩B)。
【解答】我们需要求出P(A∩B)。根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。将已知的概率值代入，得到：
0.8=0.6+0.7-P(A∩B)
解这个方程，得到P(A∩B)=0.5。
接下来，我们需要求出P(AB)。根据条件概率的定义，P(AB)=P(A∩B)/P(B)。将已知的概率值代入，得到：
P(AB)=0.5/0.7≈0.714
因此，P(AB)≈0.714，P(A∩B)=0.5。
条件概率和独立性是概率统计中的基本概念，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。在考研数学二中，掌握条件概率和独立性的计算方法对于解决相关问题非常重要。