2024考研数学二试卷深度解析与高频问题答疑

2024年考研数学二试卷已公布，整体难度适中，但部分题目新颖，考察了考生的基础与综合能力。不少考生在答题过程中遇到了一些困惑，本文将结合试卷特点，针对常见问题进行详细解答，帮助考生更好地理解考点与解题思路。

常见问题解答

问题1：关于选择题第3题的函数极限计算

这道题考查了“1”型未定式极限的计算，很多考生在求解过程中容易忽略对参数取值范围的讨论。题目中给出的极限表达式为：lim (x→0) (ex cos x) / x2。正确解法如下：

1. 将ex和cos x分别用泰勒展开式近似，ex ≈ 1 + x + x2/2，cos x ≈ 1 x2/2。
2. 代入原式得：(1 + x + x2/2 (1 x2/2)) / x2 = 2x2 / x2 = 2。
3. 当x→0时，若x为负，极限值仍为2，因此无需讨论方向性。

错误做法常见于直接用洛必达法则，但未考虑泰勒展开的简便性，导致计算过程冗长。

问题2：关于解答题第5题的微分方程应用

这道题结合了物理中的冷却问题，要求考生建立微分方程并求解。题目描述为：某物体初始温度为20℃，放入温度为100℃的环境中，5分钟后温度达到30℃。求物体温度随时间的变化规律。很多考生在建模时容易出错。

1. 正确模型应为：dT/dt = k(T 100)，其中k为常数。
2. 初始条件：t=0时，T=20；t=5时，T=30。
3. 解得通解：T = 100 + (20 100)e(-kt)，代入t=5得到k=ln(2)/5。
4. 最终解为：T = 100 + 80e(-ln(2)t/5)。

常见错误包括：①忘记初始温度是20℃而非0℃；②将冷却方程写成dT/dt = k(T T_0)形式；③计算k值时忽略对数运算。

问题3：关于证明题第8题的函数单调性证明

这道题要求证明函数f(x) = xlnx x在(0,1)区间单调递减。部分考生尝试用二阶导数判断，但过程过于复杂。正确方法如下：

1. 计算一阶导数：f'(x) = lnx + 1 1 = lnx。
2. 在(0,1)区间，lnx始终小于0，因此f'(x) < 0。
3. 结论：f(x)在(0,1)单调递减。

错误做法常见于：①直接求二阶导数判断凹凸性；②忽略lnx在(0,1)的符号特性；③对区间端点讨论不当。实际上，题目明确要求开区间，无需考虑x=0处的行为。