考研数学：那些让你夜不能寐的常见难题

考研数学是许多考生心中的“拦路虎”，尤其是那些反复纠结却找不到突破口的问题。在深夜里，很多同学都会被一些典型的数学难题困扰，既想解决又不知从何下手。本栏目特别整理了5道考研数学中的常见“拦路虎”，并给出详细解答，帮助你彻底攻克这些难题，让复习不再焦虑。每道题都附带深入浅出的解析，适合考前冲刺阶段快速回顾，轻松提升解题能力。

问题一：极限计算中的“0/0”型未定式如何处理？

在考研数学中，极限计算是高频考点，尤其是“0/0”型未定式。这类问题看似简单，但很多同学容易陷入误区。正确处理这类问题的核心是运用洛必达法则或等价无穷小替换。比如，计算lim(x→0) (sin x x)/x2，直接代入会得到“0/0”型，此时可以先用泰勒展开sin x ≈ x x3/6，再代入极限式，得到结果为-1/6。另一种方法是连续使用洛必达法则，分别对分子分母求导，直到不再出现未定式。洛必达法则的前提是分子分母可导且极限存在，否则会导致错误结论。等价无穷小替换往往更高效，比如这里的sin x ≈ x，x2 ≈ x2，直接约去x2即可得-1/6。

问题二：多元函数的极值如何判断？

多元函数的极值是考研中的难点，很多同学容易混淆驻点与极值点。正确判断的步骤是：首先求出所有驻点，即同时满足?f/?x=0和?f/?y=0的点；然后计算二阶偏导数，构造海森矩阵；最后根据海森矩阵的符号判断极值类型。比如，对于f(x,y)=x3-3xy+y3，驻点在(0,0)和(1,1)。在(0,0)处，海森矩阵为负定，是极大值点；在(1,1)处，海森矩阵为正定，是极小值点。特别要注意的是，边界点和不可导点也可能出现极值，需要单独讨论。条件极值问题常用拉格朗日乘数法，关键在于正确写出拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(?g/?x-?g/?y)，然后求解驻点即可。

问题三：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研的重点，掌握多种判别法能有效提升解题效率。对于正项级数，常用比值判别法、根值判别法、比较判别法。比如，判断∑(n=1→∞) (n+1)/2n的收敛性，用比值法：lim(n→∞) [(n+2)/2(n+1)]/[(n+1)/2n] = 1/2 < 1，故收敛。对于交错级数，莱布尼茨判别法很实用，需验证项的绝对值单调递减且趋于0。而绝对收敛的级数一定收敛，这是个重要结论。特别提醒，级数收敛性与项的位置无关，与有限项无关，这是很多同学容易混淆的地方。另外，幂级数的收敛域需分别讨论端点，因为端点可能发散也可能收敛，需要单独代入验证。

问题四：微分方程的求解技巧有哪些？

微分方程是考研的重头戏，掌握常见类型解题技巧能事半功倍。一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的通解公式为y=e(-∫pdx) [∫qe(∫pdx) dx+C]，记住这个公式能节省大量时间。对于齐次方程y'=(y/x)g(y/x)，可设u=y/x，转化为可分离变量方程。二阶常系数非齐次方程的关键是求齐次通解和特解，特解常用待定系数法，比如f(x)=eαx(Pn(x)cos βx+Qm(x)sin βx)时，特解形式应为eαx(Asin βx+Bcos βx)，其中A、B待定。注意，若α或β为特征根，需乘x的幂次。欧拉方程形如x2y''+axy'+by=f(x)，通过变量代换x=et可转化为常系数方程，是考研中的冷门考点，但偶尔会考。

问题五：重积分如何选择坐标系？

重积分计算是考研难点，坐标系选择直接影响计算复杂度。一般原则是：积分区域为圆形或圆环时用极坐标，为矩形或长方形时用直角坐标。比如计算∫∫D (x2+y2) dxdy，若D为圆心在原点的单位圆，极坐标更优，设x=rcosθ，y=rsinθ，积分变为∫(0→2π) ∫(0→1) r4 drdθ。若D为[x-1]2+y2≤1的圆，则需分段计算或用平移变换。对于三重积分，柱坐标适合旋转对称体，球坐标适合球体或锥体，如计算球体ρ≤2cosφ的体积，用球坐标更简单。特别提醒，坐标系选择不仅看区域，也要看被积函数，比如x2+y2在极坐标下最简单，而ln(x+y)在直角坐标下可能更易处理。