2018年考研数学二真题难点解析与常见问题解答

2018年的考研数学二真题在难度和题型上都有一定的挑战性，不少考生在考后反映部分题目较为新颖，解题思路需要灵活运用。本文将结合真题中的典型问题，为大家提供详细的解答和解析，帮助考生更好地理解考点，掌握解题技巧。内容涵盖了高数、线代和概率三大模块，力求解答清晰、步骤完整，适合考生复习和参考。

常见问题解答

问题一：2018年数学二真题中，高数部分第3题的极限计算难点在哪里？如何正确求解？

2018年数学二真题中高数部分第3题考查了“洛必达法则”与“等价无穷小替换”的结合应用，很多考生在解题过程中容易忽略等价无穷小的简化，导致计算过程冗长且容易出错。这道题的原型是求极限 lim(x→0) [x sin(x)cos(x)] / x3。我们需要明确这是一个“0/0”型极限，因此可以考虑使用洛必达法则。但直接求导后会得到更复杂的表达式，这时就应该想到利用三角函数的等价无穷小进行简化。具体来说，当x→0时，sin(x)≈x，cos(x)≈1 x2/2，代入原式可得：

lim(x→0) [x x(1 x2/2)] / x3 = lim(x→0) [x x + x3/2] / x3 = lim(x→0) 1/2 = 1/2。

由此可见，正确运用等价无穷小替换能够大大简化计算过程。这也是历年真题中反复考查的一个重点，考生在复习时一定要熟练掌握常见的等价无穷小形式，如：sin(x)~x, tan(x)~x, ln(1+x)~x, (1-x)α~1-αx等。

问题二：线代部分第20题的向量组线性相关性证明中，有哪些常见的错误思路？

2018年数学二真题线代部分第20题考查了向量组的线性相关性，题目要求证明向量组α?, α?, α?线性无关。不少考生在证明过程中容易陷入误区，比如直接通过行列式判断法，但题目并未说明向量组是方阵形式；或者错误地使用“反证法”但逻辑不严谨。正确证明思路应该是：首先假设存在不全为零的常数k?, k?, k?使得k?α? + k?α? + k?α? = 0，然后将向量组表示为矩阵形式，通过初等行变换化简判断。具体步骤如下：

设α? = (1, 1, 1), α? = (1, 2, 3), α? = (1, 3, t)，构造矩阵A = [α?, α?, α?]，对A进行初等行变换：

A = [1 1 1; 1 2 3; 1 3 t] → [1 1 1; 0 1 2; 0 2 t-1] → [1 1 1; 0 1 2; 0 0 t-5]。

当t≠5时，矩阵A的秩为3，向量组线性无关；当t=5时，矩阵A的秩小于3，向量组线性相关。因此，原命题得证。

考生在解题时容易犯的错误包括：①忽略向量组构成矩阵的行数与列数关系；②反证法中假设条件不完整；③计算过程中出现符号错误。这些都需要在平时练习中加以注意。

问题三：概率部分第8题的二维随机变量概率计算中，如何正确应用分布函数的性质？

2018年数学二真题概率部分第8题考查了二维离散型随机变量的概率计算，题目给出了联合分布律的部分信息，要求计算P{X>2Y