考研数学120分必胜策略：常见问题深度解析

考研数学想要达到120分，不仅需要扎实的理论基础，还需要对常见题型有精准的把握。本文将结合历年真题和考试规律，深入解析几个高频考点，帮助你少走弯路，高效提分。无论是选择题、填空题还是大题，这些常见问题的解答都能为你提供实用的备考思路。

问题一：函数零点与方程根的求解技巧

函数零点与方程根的求解是考研数学中的常考点，通常涉及零点存在性定理、中值定理等知识点。要想做对这类问题，首先要明确零点与根的区别：零点是指函数图像与x轴的交点，而根是方程的解。在解题时，常需要结合图像分析，比如利用导数判断函数的单调性，从而确定零点的个数和位置。

举个例子，假设要证明方程f(x)=0在区间(a,b)内有唯一实根，通常可以分两步：首先利用连续性和中值定理证明根的存在性，再通过导数单调性证明根的唯一性。比如，若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。接着，若f'(x)在(a,b)上恒不为0，则零点唯一。这类问题往往需要结合多种方法，比如泰勒展开、积分中值定理等，灵活运用才能得满分。

问题二：多元函数极值与条件极值的求解方法

多元函数的极值问题是考研数学中的重点，分为无条件极值和条件极值两种。无条件极值主要考查二阶偏导数检验法，而条件极值则常使用拉格朗日乘数法。解题时，关键在于正确设置目标函数和约束条件。

比如，求解函数z=f(x,y)在约束g(x,y)=0下的极值，可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，通过求解方程组?L=0来确定驻点。注意，在验证极值时，不仅要检查二阶导数检验是否满足，还要结合约束条件判断是极大值还是极小值。特别地，当约束条件较多时，拉格朗日乘数法比代入法更高效。要特别关注边界情况，有些极值可能出现在边界上而非驻点处。

问题三：级数敛散性的判别技巧

级数敛散性是考研数学中的难点，常涉及正项级数、交错级数和函数项级数。解题时，首先要判断级数类型，然后选择合适的判别法。正项级数常用比值判别法、根值判别法，而交错级数则需使用莱布尼茨判别法。

以交错级数为例，若要证明级数∑(-1)?a?收敛，只需验证a?单调递减且lim(a?)=0。比如，级数∑(-1)?/(n+√n)的敛散性，可以先判断a?=1/(n+√n)单调递减且趋于0，再得出结论。对于函数项级数，则要考查收敛域和一致收敛性，常使用M判别法。特别要注意，有些级数在不同区间表现不同，需要分段讨论。比如，幂级数∑a?(x-x?)?的收敛半径r=lima?/a???，但需检查端点处敛散性。