高等数学考研习题精选：重点难点解析与实战技巧

在高等数学考研的备考过程中，习题是检验学习成果、提升解题能力的关键环节。许多考生在练习时容易遇到各种难题，尤其是那些涉及抽象概念和复杂计算的题目。为了帮助大家更好地攻克这些难点，我们整理了以下几道典型的高等数学考研习题，并提供了详细的解析和答案。这些题目涵盖了函数极限、微分方程、级数等多个重要考点，适合考生在复习阶段参考。通过深入分析解题思路和步骤，考生可以更清晰地理解知识点，掌握解题技巧，从而在考试中取得优异成绩。

习题一：函数极限的计算

问题：计算极限 lim (x→0) (sin(x2) / x x / (x+1))。

答案：要计算这个极限，我们需要先对表达式进行适当的变形，以便应用极限的基本性质和常用公式。观察分子中的两个部分：sin(x2) / x 和 x / (x+1)。对于 sin(x2) / x，我们可以利用等价无穷小的性质，当 x→0 时，sin(x2) ≈ x2，因此 sin(x2) / x ≈ x。这样，原式可以简化为 lim (x→0) (x x / (x+1))。

接下来，我们处理 x / (x+1) 这部分。将分母中的 x+1 拆开，得到 x / (x+1) = x / x 1 / (1 + 1/x) = 1 1 / (1 + 1/x)。当 x→0 时，1/x→∞，所以 1 / (1 + 1/x)→0，因此 x / (x+1)→1。于是原式进一步简化为 lim (x→0) (x 1)。

显然，当 x→0 时，x 1→-1。所以，原极限的值为 -1。通过这个例子，我们可以看到，在计算极限时，合理利用等价无穷小和分母有理化是非常重要的技巧。这些方法不仅简化了计算过程，还能帮助我们更快地找到正确的答案。

习题二：微分方程的求解

问题：求解微分方程 y'' 4y' + 4y = x2。

答案：对于这个二阶常系数非齐次线性微分方程，我们需要先求出对应的齐次方程的通解，再找到非齐次方程的特解。考虑齐次方程 y'' 4y' + 4y = 0。其特征方程为 r2 4r + 4 = 0，解得 r=2（重根）。因此，齐次方程的通解为 y_h = (C1 + C2x)e(2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。

接下来，我们寻找非齐次方程的特解。由于非齐次项为 x2，我们可以尝试设特解为 y_p = Ax2 + Bx + C。将 y_p 代入原方程，得到 y_p'' 4y_p' + 4y_p = 2A 4(2Ax + B) + 4(Ax2 + Bx + C) = 4Ax2 + (2A 4B)x + (2A 4B + 4C)。

要使这个表达式等于 x2，我们需要系数对应相等：4A=1，2A 4B=0，2A 4B + 4C=0。解这个方程组，得到 A=1/4，B=1/8，C=1/16。因此，特解为 y_p = (1/4)x2 + (1/8)x + 1/16。

最终，原方程的通解为 y = y_h + y_p = (C1 + C2x)e(2x) + (1/4)x2 + (1/8)x + 1/16。通过这个例子，我们可以看到，求解二阶常系数非齐次线性微分方程的步骤是清晰的：先求齐次解，再求特解，最后叠加。这种方法不仅适用于此类方程，还能推广到其他类型的微分方程。

习题三：级数的敛散性判断

问题：判断级数 ∑ (n=1 to ∞) (n2 / (n3 + 1)) 的敛散性。

答案：对于这个正项级数，我们可以使用比较判别法或极限比较判别法来判断其敛散性。观察通项 a_n = n2 / (n3 + 1)。当 n 很大时，n3 + 1 ≈ n3，因此 a_n ≈ n2 / n3 = 1 / n。我们知道调和级数 ∑ (n=1 to ∞) (1 / n) 是发散的，因此可以猜测原级数也是发散的。

为了验证这个猜想，我们使用极限比较判别法。取 b_n = 1 / n，计算 lim (n→∞) (a_n / b_n) = lim (n→∞) ((n2 / (n3 + 1)) / (1 / n)) = lim (n→∞) (n3 / (n3 + 1)) = 1。因为这个极限是非零的有限值，根据极限比较判别法，原级数与调和级数具有相同的敛散性。

由于调和级数发散，原级数 ∑ (n=1 to ∞) (n2 / (n3 + 1)) 也发散。通过这个例子，我们可以看到，在判断级数敛散性时，选择合适的比较级数非常重要。有时候，简单的观察和估算就能帮助我们快速找到正确的结论，但严谨的数学证明仍然是必不可少的。