考研数学张伟老师精选问题解析：轻松突破难点

考研数学是众多考生心中的“拦路虎”，而张伟老师作为考研数学领域的佼佼者，其深入浅出的讲解风格深受广大学子喜爱。本文精选了张伟老师常见的问题，并结合其教学理念进行详细解答，帮助考生更好地理解和掌握重点难点。无论是高数、线代还是概率论，这些问题都能让你受益匪浅。张伟老师强调，数学学习不仅在于公式记忆，更在于逻辑思维的培养，通过实际问题的解析，考生可以逐步提升解题能力。下面，我们就来看看这些精选问题及其详细解答。

问题一：定积分的计算技巧有哪些？

定积分的计算是考研数学中的重点内容，很多考生在计算过程中感到困惑。张伟老师指出，定积分的计算技巧主要分为几大类，首先要掌握基本的积分公式和性质，比如奇偶函数在对称区间上的积分性质、周期函数的积分性质等。要熟练运用换元积分法和分部积分法，这两种方法是解决复杂定积分问题的核心。换元积分法可以简化积分区间或被积函数的形式，而分部积分法则适用于被积函数中含有乘积项的情况。还有一些特殊技巧，比如分段函数的积分、被积函数中含有绝对值的情况等，都需要考生灵活应对。下面我们通过一个具体例子来详细解析。

例如，计算定积分 ∫₀¹ x2(1-x)3 dx。我们可以将被积函数展开，得到 x2(1-3x+3x2-x3)，然后逐项积分。但这种方法比较繁琐，我们可以尝试使用换元积分法。令 t = 1-x，则 dt = -dx，当 x=0 时，t=1；当 x=1 时，t=0。因此，原积分可以转化为 ∫₁⁰ (1-t)2t3 (-dt) = ∫₀¹ (1-t)2t3 dt。这样，我们只需要计算这个新的积分即可。使用分部积分法，令 u = (1-t)2，dv = t3 dt，则 du = -2(1-t) dt，v = t?/4。根据分部积分公式 ∫ u dv = uv ∫ v du，可以得到：∫₀¹ (1-t)2t3 dt = (1-t)2t?/4 ?₀¹ ∫₀¹ t?/4 (-2(1-t)) dt = 0 (-1/2) ∫₀¹ (1-t)t? dt。继续计算这个积分，令 u = 1-t，dv = t? dt，则 du = -dt，v = t?/5。再次使用分部积分法，可以得到最终结果为 1/30。通过这个例子，我们可以看到，灵活运用换元积分法和分部积分法可以大大简化定积分的计算过程。

问题二：如何快速判断函数的连续性和可导性？

函数的连续性和可导性是考研数学中的基础概念，也是很多考生容易混淆的地方。张伟老师建议，判断函数的连续性和可导性，首先要掌握基本定义。函数在某点连续，意味着该点的极限存在且等于函数值；函数在某点可导，则该点的左右导数存在且相等。要熟悉一些常见的连续性和可导性结论，比如基本初等函数在其定义域内连续可导、复合函数的连续性和可导性等。还要注意一些特殊情况，比如分段函数在分段点处的连续性和可导性，需要分别讨论左右极限和左右导数。下面我们通过一个具体例子来详细解析。

例如，判断函数 f(x) = x 在 x=0 处的连续性和可导性。我们来看连续性。根据定义，需要计算极限 ∫₀⁰ f(x) dx。由于 x 在 x=0 处的左右极限都存在且等于 0，因此 f(x) 在 x=0 处连续。接下来，我们来看可导性。计算左右导数，当 x>0 时，f(x) = x，f'(x) = 1；当 x<0 时，f(x) = -x，f'(x) = -1。因此，左右导数不相等，f(x) 在 x=0 处不可导。通过这个例子，我们可以看到，分段函数在分段点处的连续性和可导性需要分别讨论，不能简单地套用一般结论。

问题三：多元函数的偏导数和全微分如何计算？

多元函数的偏导数和全微分是考研数学中的难点内容，很多考生在计算过程中感到困惑。张伟老师指出，计算多元函数的偏导数和全微分，首先要明确概念。偏导数是指在某一个自变量变化时，其他自变量保持不变时的变化率；全微分则是所有自变量变化时的总变化率。要掌握计算方法。计算偏导数时，只需要将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。计算全微分时，则需要分别计算每个自变量的偏导数，然后相加。还要注意一些特殊情况，比如隐函数的偏导数和全微分，需要使用隐函数求导法。下面我们通过一个具体例子来详细解析。

例如，计算函数 z = x2 + y2 的偏导数和全微分。计算偏导数。当 x 不变，y 变化时，z 对 y 的偏导数为 ?z/?y = 2y；当 y 不变，x 变化时，z 对 x 的偏导数为 ?z/?x = 2x。接下来，计算全微分。根据全微分公式 dz = ?z/?x dx + ?z/?y dy，可以得到 dz = 2x dx + 2y dy。通过这个例子，我们可以看到，计算多元函数的偏导数和全微分，只需要掌握基本公式和计算方法即可。但在实际问题中，自变量可能存在约束条件，这时需要使用隐函数求导法或其他方法进行计算。