张宇30讲基础习题疑难解析：精准突破考研数学瓶颈

考研数学的复习如同攀登高峰，基础阶段往往容易遇到各种困惑。张宇老师的《30讲》作为备考利器，其配套习题虽精辟但也不乏让人皱眉的题目。本文精选了三道典型问题，从解题思路到易错点逐一剖析，帮助考生扫清障碍，夯实基础。无论是极限计算还是微分应用，每道题的解答都力求深入浅出，让复杂问题变得清晰易懂。通过这些实例，考生不仅能掌握解题技巧，更能培养数学思维，为后续强化复习打下坚实基础。

问题一：函数极限计算中的“小技巧”运用

这道题考察了函数极限的多种计算方法，不少同学在处理分母为零的情况时容易陷入误区。正确答案需要结合洛必达法则和等价无穷小替换，以下是详细解析：

原式可以化简为 lim (x→0) [sin(x2)/x x/(x2+x)]。注意到分子分母均趋近于零，故可尝试洛必达法则。但直接求导后表达式依然复杂，此时应考虑等价无穷小：当 sin(x2)≈x2 时，原式转化为 lim (x→0) [(x2)/x x/(x2+x)]。进一步简化得 lim (x→0) [x 1/(x+1)]，此时直接代入x=0即可得答案为0。关键在于发现 sin(x2)≈x2 的等价关系，若盲目求导会陷入繁琐计算。

问题二：微分方程初值问题的求解策略

这道题涉及一阶线性微分方程，很多同学在分离变量时容易遗漏初始条件对通解的影响。完整解答步骤如下：

问题三：多元函数极值问题的判定方法

本题要求求函数 f(x,y)=x3+y3-3xy 的极值，部分同学在第二偏导数检验时容易混淆正负号判断标准。正确处理流程是：

首先求驻点：分别对x、y求偏导并令其为零，得到方程组 3x2-3y=0 和 3y2-3x=0。解得驻点为 (0,0) 和 (1,1)。接着计算二阶偏导数：fxx=6x、fyy=6y、fxy=-3。在 (0,0) 处，D=0，无法判定；在 (1,1) 处，D=6×6-(-3)2=27>0，且 fxx=6>0，故 (1,1) 为极小值点，极小值为-1。关键提示：当 D>0 时需结合 fxx 正负判断极值类型；当 D=0 时需用其他方法（如取路径极限）检验。