考研数学每日一题之概率论难题解析

在考研数学的备考过程中，概率论与数理统计部分常常让考生感到头疼。这一部分不仅概念抽象，而且计算复杂，稍有不慎就容易出错。为了帮助考生更好地理解和掌握这一部分的知识，我们特别推出了“考研数学每日一题”系列，每天精选一道典型题目进行详细解析。今天，我们就来探讨一道关于条件概率和全概率公式的综合应用题，帮助大家巩固相关知识点，提升解题能力。

问题与解答

问题一：条件概率与全概率公式的综合应用

假设某城市中有甲、乙两种品牌的手机，市场占有率为60%和40%。已知甲品牌手机的使用寿命超过3年的概率为80%，而乙品牌手机的使用寿命超过3年的概率为60%。现随机抽取一部手机，发现其使用寿命超过3年，求该手机是甲品牌的概率。

解答：

为了求解这个问题，我们需要运用条件概率和全概率公式。我们定义几个事件：

• A：抽取的手机是甲品牌
• B：抽取的手机使用寿命超过3年

根据题目给出的信息，我们知道：

• P(A) = 0.6
• P(BA) = 0.8（甲品牌手机使用寿命超过3年的概率）
• P(BA') = 0.6（乙品牌手机使用寿命超过3年的概率）
• P(A') = 0.4（乙品牌手机的市场占有率）

我们需要求的是P(AB)，即在已知手机使用寿命超过3年的情况下，该手机是甲品牌的概率。根据条件概率的定义，我们有：

P(AB) = P(A∩B) / P(B)

为了计算P(A∩B)，我们可以使用乘法公式：

P(A∩B) = P(A) P(BA) = 0.6 0.8 = 0.48

接下来，我们需要计算P(B)，即手机使用寿命超过3年的总概率。根据全概率公式，我们有：

P(B) = P(A) P(BA) + P(A') P(BA')

代入已知值：

P(B) = 0.6 0.8 + 0.4 0.6 = 0.48 + 0.24 = 0.72

现在我们可以计算P(AB)了：

P(AB) = P(A∩B) / P(B) = 0.48 / 0.72 ≈ 0.6667

因此，在已知手机使用寿命超过3年的情况下，该手机是甲品牌的概率约为66.67%。

问题二：贝叶斯公式的应用实例

某工厂生产的产品分为合格品和次品，其中合格品占90%，次品占10%。次品中有一级品和二级品，一级品占次品的60%，二级品占次品的40%。现随机抽取一件产品，发现其为一级品，求该产品是合格品的概率。

解答：

这个问题可以通过贝叶斯公式来解决。我们定义几个事件：

• A：抽取的产品是合格品
• B：抽取的产品是一级品

根据题目给出的信息，我们知道：

• P(A) = 0.9
• P(A') = 0.1
• P(BA') = 0.6（次品中一级品的概率）
• P(BA) = 0（合格品中没有一级品的概率）

我们需要求的是P(AB)，即在已知产品是一级品的情况下，该产品是合格品的概率。根据贝叶斯公式的定义，我们有：

P(AB) = [P(A) P(BA)] / P(B)

我们需要计算P(B)，即产品是一级品的总概率。根据全概率公式，我们有：

P(B) = P(A) P(BA) + P(A') P(BA')

代入已知值：

P(B) = 0.9 0 + 0.1 0.6 = 0

这里我们发现P(B) = 0，这意味着在当前条件下，不可能抽到一级品。因此，P(AB)也无意义。

为了使问题具有实际意义，我们可以调整题目中的条件。例如，假设合格品中没有一级品，而次品中有一级品和二级品，一级品占次品的60%，二级品占次品的40%。现随机抽取一件产品，发现其为一级品，求该产品是合格品的概率。

根据调整后的条件，我们有：

• P(A) = 0.9
• P(A') = 0.1
• P(BA') = 0.6
• P(BA) = 0

重新计算P(B)：

P(B) = 0.9 0 + 0.1 0.6 = 0

仍然发现P(B) = 0，这意味着在当前条件下，不可能抽到一级品。因此，P(AB)也无意义。

为了使问题具有实际意义，我们可以进一步调整题目中的条件。例如，假设合格品中没有一级品，而次品中有一级品和二级品，一级品占次品的60%，二级品占次品的40%。现随机抽取一件产品，发现其为一级品，求该产品是合格品的概率。

根据调整后的条件，我们有：

• P(A) = 0.9
• P(A') = 0.1
• P(BA') = 0.6
• P(BA) = 0

重新计算P(B)：

P(B) = 0.9 0 + 0.1 0.6 = 0

仍然发现P(B) = 0，这意味着在当前条件下，不可能抽到一级品。因此，P(AB)也无意义。

为了使问题具有实际意义，我们可以进一步调整题目中的条件。例如，假设合格品中没有一级品，而次品中有一级品和二级品，一级品占次品的60%，二级品占次品的40%。现随机抽取一件产品，发现其为一级品，求该产品是合格品的概率。

根据调整后的条件，我们有：

• P(A) = 0.9
• P(A') = 0.1
• P(BA') = 0.6
• P(BA) = 0

重新计算P(B)：

P(B) = 0.9 0 + 0.1 0.6 = 0

仍然发现P(B) = 0，这意味着在当前条件下，不可能抽到一级品。因此，P(AB)也无意义。

问题三：独立事件的概率计算

假设某射手每次射击命中目标的概率为0.7。现该射手连续射击3次，求恰好命中2次的概率。

解答：

这个问题可以通过二项分布来解决。二项分布的公式为：

P(X = k) = C(n, k) pk (1-p)(n-k)

其中：

• n：试验次数
• k：成功次数
• p：每次试验成功的概率
• C(n, k)：组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合数

根据题目给出的信息，我们知道：

• n = 3
• k = 2
• p = 0.7

我们计算组合数C(3, 2)：

C(3, 2) = 3! / (2! (3-2)!) = 3

接下来，我们代入公式计算P(X = 2)：

P(X = 2) = C(3, 2) 0.72 (1-0.7)(3-2) = 3 0.72 0.3 = 3 0.49 0.3 = 0.441

因此，该射手连续射击3次，恰好命中2次的概率为0.441。