考研数学二选择题常见考点深度解析

考研数学二的选择题部分是考生得分的关键，涉及函数、极限、导数、积分等多个核心知识点。这些题目往往以新颖的表述和巧妙的陷阱著称，考生不仅需要扎实的理论基础，还要具备灵活的解题思维。本文精选了3道典型选择题，从解题思路到易错点进行详细剖析，帮助考生突破选择题瓶颈。每道题的解析都力求贴近考试实际，避免生硬的理论堆砌，让考生在理解中掌握解题技巧。

问题一：关于函数连续性与可导性的判断

已知函数f(x)在x=1处连续，且满足lim(x→1) (f(x)-f(1))/(x-1)=2，则f(x)在x=1处是否可导？

【答案】可导。根据题意，函数f(x)在x=1处连续，即lim(x→1) f(x)=f(1)。又根据导数定义，若f(x)在x=1处可导，则lim(x→1) (f(x)-f(1))/(x-1)应存在且等于f'(1)。题目中给出的极限值为2，说明该极限存在且为2，因此f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2。这个问题的关键在于区分连续与可导的关系：函数在某点连续是可导的必要条件，但不是充分条件。只有在极限lim(x→x?) (f(x)-f(x?))/(x-x?)存在的条件下，函数才在该点可导。考生容易忽略这一细节，误认为连续就一定可导。

问题二：关于定积分等式的证明

设函数f(x)在[0,1]上连续且非负，若∫?1 f(x)dx=1，则下列哪个不等式一定成立？

【答案】∫?1 f2(x)dx≥1。根据柯西-施瓦茨不等式，对于[0,1]上的连续函数f(x)和常数1，有(∫?1 f(x)·1dx)2 ≤ ∫?1 f2(x)dx · ∫?1 12dx。由题意，∫?1 f(x)dx=1，因此(∫?1 f(x)dx)2=12=1，代入不等式得1 ≤ ∫?1 f2(x)dx。这个问题的关键在于灵活运用积分不等式。柯西-施瓦茨不等式是定积分中的重要工具，常用于证明不等式。考生需要掌握该不等式的多种变体形式，例如对于[a,b]上的函数f(x)和g(x)，有(∫<0xE1><0xB5><0xA3> f(x)g(x)dx)2 ≤ ∫<0xE1><0xB5><0xA3> f2(x)dx · ∫<0xE1><0xB5><0xA3> g2(x)dx。题目中的“非负”条件是使用不等式的重要前提，确保积分结果为正数。

问题三：关于微分方程的求解

微分方程y' y = x2的通解为？

【答案】y = e?(∫?? t2e??dt + C)。这道题考察了一阶线性微分方程的求解方法。首先将方程化为标准形式y' + p(x)y = q(x)，即y' y = x2，其中p(x)=-1，q(x)=x2。接着计算积分因子μ(x)=e<0xE1><0xB5><0xA3>∫<0xE1><0xB5><0xA3> p(x)dx = e<0xE1><0xB5><0xA3>(-x) = e??。将方程两边乘以积分因子，得到e??y' e??y = x2e??，即(e??y)' = x2e??。两边积分得e??y = ∫?? t2e??dt + C，因此通解为y = e?(∫?? t2e??dt + C)。这个问题的关键在于掌握积分因子的计算方法和一阶线性微分方程的通解公式。考生容易在积分过程中出错，尤其是含有变限积分的项，需要特别注意积分上下限的处理。初始条件的选择也会影响特解的形式，但本题未给出初始条件，因此答案为通解形式。