2021年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x)$的奇偶性为（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 无法确定
答案：A
解析：$f(-x)=\frac{1}{-x-1}-\frac{1}{-x+1}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
2. 设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是（ ）
A. $a^2+b^2\geq 2ab$
B. $(a+b)^2\geq 4ab$
C. $a^3+b^3\geq 3ab$
D. $a^4+b^4\geq 2a^2b^2$
答案：B
解析：由均值不等式知，$(a+b)^2\geq 4ab$。
3. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=2$
D. $x=-2$
答案：A
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$。
二、填空题
1. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$。
解析：$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=0$，得$f'(0)=\frac{1}{2}$。
2. 设$a>0$，$b>0$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$。
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim_{x\to 0}\frac{ax}{bx}=\frac{a}{b}$。
三、解答题
1. 求函数$f(x)=x^3-3x+2$的极值。
答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=0$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1)=6$。
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=-1$。当$x<1$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。所以$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=0$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1)=6$。
2. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。
答案：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$。
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