考研数学二“拦路虎”全解析：那些年让你抓狂的难题

2016年考研数学二被考生普遍认为是难度陡增的一年，很多题目不仅计算量大，还巧妙地结合了多个知识点，让不少同学在考场上束手无策。本文将针对当年最让考生头疼的几个问题，用通俗易懂的方式给出详细解答，帮助大家理清思路，避免类似误区。

常见难题深度剖析

2016年的数学二试卷中，函数与导数的综合题成为压倒性的难点。不少同学反映，某道关于隐函数求导的题目不仅涉及参数方程，还嵌套了极值判断，导致计算过程混乱且容易出错。其实这类问题只要掌握“拆分步骤”的技巧，就能化繁为简。比如，在处理隐函数求导时，可以先对等式两边分别求导，再整理出目标变量的导数表达式，最后代入参数方程求解。下面我们具体分析两道典型问题。

问题1：隐函数求导与极值判断的综合应用

题目原型：已知方程x3+y3-3axy=0确定函数y=y(x)，若y(0)=0，求y在x=0处的极值。

解答思路：这道题看似复杂，但只要拆解为三个小步骤就能轻松应对。对方程两边求全导数，得到3x2+3y2y'-3ay-3axy'=-3ay，整理后可得y'=(ay-x2-y2)/(-ax+xy)。关键在于，当x=0时，原方程变为y3=0，因此y(0)=0是确定的。将x=0代入导数表达式，得到y'(0)=0，这只是驻点的必要条件。要判断是否为极值点，还需计算二阶导数：对y'再次求导，得y''=(2ay'-x2)/(-a)，代入x=0和y(0)=0后，若y''(0)>0则为极小值，反之则为极大值。通过进一步计算可知，当a>0时，y(0)为极小值点。

问题2：参数方程与不等式证明的结合题

题目原型：设函数f(x)由参数方程x=1+2t2，y=t(1-t)确定，证明当x≥1时f(x)单调递增。

解答技巧：这类题目考查的是复合函数的单调性判断。首先需要求出显式函数f(x)的表达式：由x=1+2t2解得t=√((x-1)/2)，代入y=t(1-t)后得到f(x)=√((x-1)/2)(1-√((x-1)/2))。求导时需用到链式法则：f'(x)=1/(4√(x-1))[(x-1)-2√(x-1)]。要证明f(x)单调递增，只需证明f'(x)≥0。观察导数表达式，当x≥1时，(x-1)-2√(x-1)恒为非负数，因为平方根函数在[1,+∞)上凸，所以该差值大于等于0。特别地，当x=1时导数为0，x>1时导数严格大于0，因此原函数在x≥1区间上单调递增。

问题3：高阶导数与微分方程的综合应用

题目原型：已知函数y满足y'''-6y''+11y'-6y=0且y(0)=1，y'(0)=2，求y(2)的值。

解题方法：这类问题看似陌生，但本质是典型的常系数线性微分方程求解。首先写出特征方程λ3-6λ2+11λ-6=0，因式分解得(λ-1)(λ-2)(λ-3)=0，因此通解为y=C?ex+C?e2x+C?e3x。利用初始条件可列方程组：C?+C?+C?=1，C?+2C?+3C?=2。为求y(2)，还需计算y''(0)=-6y'+11y-6y，代入初始条件得C?+4C?+9C?=-10。解此方程组可得C?=1/2，C?=1/4，C?=1/4，最终y(2)=1/2e2+1/4e4+1/4e6=1/4(e2+e4+e6)。

这些典型难题的解题关键在于：隐函数求导要"先对后代"，参数方程求导需"链式法则配合平方根处理"，微分方程问题要"先解特征方程再代条件"。掌握这些技巧，2016年数学二的压轴题也不过是常规的综合应用题罢了。