测绘工程考研数学：常见难点与解题秘籍

在测绘工程考研的征途上，数学是不少同学的“拦路虎”。特别是高数、线代、概率论这三门课，不仅概念抽象，还涉及大量计算。本文将结合测绘工程专业的特点，整理出3-5个高频考点，并给出详细解答，帮助大家攻克数学难关。

文章介绍

测绘工程考研数学主要考察高等数学、线性代数和概率论与数理统计三门课程。高数部分侧重极限、微分、积分及其应用，线代则围绕矩阵、向量、线性方程组展开，概率论则与测量误差处理、数据处理密切相关。本文选取的案例均来自历年真题和模拟题，结合测绘工程实际应用场景，用通俗语言讲解解题思路，避免枯燥的理论堆砌。同时，通过分步解析和技巧总结，帮助考生快速掌握核心考点。

内容剪辑技巧

在整理考研数学资料时，可以采用“问题-解析-拓展”三段式结构。首先用简洁的语言提出问题，比如“如何快速求解多元函数的极值？”；接着分步骤展示解题过程，标注关键公式和易错点；最后结合测绘工程案例（如控制网平差计算）进行拓展，强化知识迁移能力。排版上建议用

替代普通列表，每个步骤用加粗突出关键词；对于复杂公式，可使用

标签单独展示，并配上图形辅助说明。避免长篇大论，每段控制在150字左右，用短句和项目符号提升阅读体验。

问题1：多元函数条件极值的求解方法

在测绘工程中，常常需要优化多个观测值的组合，比如在水准网平差中求解最优参数组合。这类问题常转化为求多元函数在约束条件下的极值。

【解答】求解条件极值通常有两种方法：

1. 拉格朗日乘数法：适用于约束方程较少的情况。以函数f(x,y)在约束g(x,y)=0下的极值为例，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)，然后求解以下方程组：
2. ?L/?x=0
3. ?L/?y=0
4. ?L/?λ=0

在测绘工程中，例如求解附合水准路线的最优高程值，可设目标函数为观测值与计算值之差的平方和，约束条件为检核高差之和等于零。

5. 代入法：当约束方程较简单时，可直接解出其中一个变量，代入目标函数转化为无条件极值。比如水准网中若已知检核条件为h?+h?+h?=H，可直接将h?用h?、h?表示，转化为求f(h?,h?)的极值。

无论是哪种方法，都必须检验驻点是否为极值点。在测绘平差中，由于观测数据存在随机误差，通常还需结合泰勒级数展开法进行近似计算，以避免陷入局部最优解。例如，在GPS网平差中，坐标增量的目标函数常表示为观测向量与改正数向量的平方和，约束条件为基线向量闭合差为零。

问题2：线性方程组在控制测量中的应用

在控制网平差中，未知量往往受到多个几何约束条件限制，这构成了典型的线性方程组求解问题。

【解答】测绘工程中常见的线性方程组问题包括：

1. 条件平差：当约束方程数量等于多余观测数时，可直接求解。例如，水准网平差中，若观测高差数量为n，检核高差数量为r，则多余观测数为n-r，此时可列出r个约束方程，解出r个改正数。
2. 参数平差：当未知量较少时，需将约束方程转化为误差方程。例如，在三角网平差中，可设未知量为角度改正数，通过正弦定理将边长约束转化为角度误差方程。
3. 求解方法：对于满秩方程组，可采用高斯消元法；对于病态方程组，则需引入附加约束或正则化处理。在MATLAB编程中，可使用linsolve函数或直接调用矩阵逆，但需注意条件数检验。

以水准网平差为例，若设未知量为各测段的高差改正数v?,v?,...,v<0xE2><0x82><0x99>，观测值和检核条件分别为L和W，则误差方程可表示为V=AL+W，其中A为系数矩阵。若W=0，则称无约束平差；若W≠0，则称条件平差。在实际工程中，通常采用加权最小二乘法求解，即最小化(V?P V)，其中P为权重矩阵。