考研数学线性代数习题册中的常见问题与精解

习题册常见问题解答精选

考研数学线性代数部分是很多同学的难点，习题册中常常遇到一些反复出现却又容易混淆的问题。下面我们精选了几个典型问题，给出详细解答，帮助大家彻底搞懂重难点。

问题一：向量组线性相关性的判定方法有哪些？

向量组的线性相关性是线性代数的核心概念之一，在考研中经常作为考点出现。判断向量组线性相关性的方法主要有三种：

• 定义法：若存在不全为零的系数，使得线性组合为零向量，则向量组线性相关
• 秩法：向量组所构成的矩阵的秩小于向量个数时，向量组线性相关
• 反证法：通过假设向量组线性无关，推导出矛盾结论

具体到题目中，如果给出的是三维向量组，我们可以通过计算行列式来判断。当行列式为零时，向量组线性相关；否则线性无关。这些方法不是孤立的，实际解题时往往需要结合使用。比如，在判断抽象向量组的线性相关性时，定义法通常更有效；而对于具体数值向量组，秩法更为简便。

问题二：特征值与特征向量的基本性质是什么？

特征值与特征向量是考研线性代数中的另一个重要概念，常与矩阵对角化问题结合考查。其基本性质可以概括为以下几点：

• 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和）
• 特征值之积等于矩阵的行列式
• 对应于不同特征值的特征向量线性无关
• 实对称矩阵的特征值都是实数，且不同特征值对应的特征向量正交

在解题时，这些性质的应用非常广泛。例如，当已知矩阵的部分特征值时，可以通过迹和行列式性质求出剩余特征值；在判断矩阵是否可对角化时，需要检查不同特征值对应的特征向量个数是否足够。特别值得注意的是，特征向量必须是非零向量，这一点在计算过程中容易被忽视。

问题三：矩阵的秩如何计算？秩的性质有哪些？

矩阵的秩是考研线性代数中的一个基础但重要的概念，在许多问题中都会用到。计算矩阵秩的基本方法有两种：

• 初等行变换法：通过行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的个数就是矩阵的秩
• 定义法：矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数

秩的性质在解题中非常有用，主要包括：

• 矩阵经过初等行变换，秩保持不变
• 矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩
• 矩阵乘积的秩不超过各因子矩阵的秩，即r(AB)≤min{r(A), r(B)