张宇考研数学基础三十讲重点难点深度解析

考研数学作为全国硕士研究生入学考试的公共课之一，其难度和广度一直备受考生关注。张宇老师的《基础三十讲》以独特的教学风格和系统化的知识体系，帮助众多考生夯实数学基础。然而，在学习和使用过程中，考生们常常会遇到一些疑惑和难点。本栏目将针对《基础三十讲》中的重点内容，收集整理常见问题，并给出详尽解答，力求帮助考生们更好地理解和掌握考研数学的核心知识点。

问题一：函数极限与数列极限的区别是什么？如何正确求解？

函数极限和数列极限是微积分学习中的基础概念，两者既有联系又有区别。函数极限关注的是当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的值趋向于多少；而数列极限则是研究当数列的项数n趋于无穷大时，数列的项an的值趋向于多少。

在求解过程中，函数极限可以通过多种方法，如代入法、因式分解法、有理化法、重要极限法等。而数列极限则常采用夹逼定理、单调有界准则等方法。在求解过程中，要特别注意极限存在的条件，以及极限的运算法则，避免出现错误。

例如，对于函数极限 lim (x→2) (x2-4)/(x-2)，我们可以通过因式分解法，将分子分解为(x+2)(x-2)，然后约去分母中的(x-2)，得到极限为4。而对于数列极限 lim (n→∞) (n2+1)/(2n2-3)，我们可以通过夹逼定理，将其与(1/2)进行比较，得到极限为1/2。

问题二：定积分的定义是什么？如何正确计算定积分？

定积分是微积分学习中的另一个重要概念，其定义是将一个区间分割成无数个小区间，然后在每个小区间上取一个点，将函数值与小区间长度相乘并求和，最后取极限。定积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积。

在计算定积分时，我们可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即定积分的值等于被积函数的原函数在上限和下限的差值。我们还可以使用换元法、分部积分法等方法来计算定积分。

例如，对于定积分 ∫(0→1) x2 dx，我们可以先求出x2的原函数，即(x3/3)，然后代入上限和下限，得到定积分为1/3。而对于定积分 ∫(0→π) sin(x) dx，我们可以使用换元法，令u=π-x，然后得到定积分为2。

问题三：级数的收敛性如何判断？如何求级数的和？

级数的收敛性是级数学习中的核心问题，判断级数收敛性常用的方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。级数的和则是将级数的每一项相加得到的值。

在求级数的和时，我们可以使用幂级数展开法、部分和法等方法。并不是所有的级数都有和，有些级数是发散的，即其和不存在。

例如，对于级数 ∑(n=1→∞) (1/2n)，我们可以使用比值判别法，计算比值极限为1/2，因此级数收敛。而对于级数 ∑(n=1→∞) n，我们可以看出其每一项都趋于无穷大，因此级数发散。对于收敛的级数，我们可以使用部分和法，将其前n项相加，然后取极限得到级数的和。