考研数学每日一题：极限计算中的常见陷阱与应对策略

在考研数学的备考过程中，极限计算是必考的核心内容之一。无论是选择题还是解答题，极限问题都占据着相当的比例。然而，很多考生在解题时容易陷入各种陷阱，导致计算错误或思路中断。本文将结合最新考研数学真题中的常见问题，深入剖析极限计算中的难点，并提供切实可行的解题技巧，帮助考生高效突破这一难点。

最新考研数学题中的极限问题解析

以2023年考研数学真题中的一道典型题目为例：求极限 lim (x→0) [sin(x2) / x x / (x+1)]。这道题看似简单，实则暗藏玄机。很多考生在解题时会直接展开sin(x2)的泰勒级数，但由于对级数展开的项数选择不当，导致最终结果出现偏差。正确的方法应该是将分式拆分为两个部分分别处理，并注意x→0时各项的极限行为。

问题1：极限计算中的洛必达法则误用

问题：在计算lim (x→0) [x2 / (1-cos(x))]时，有考生直接使用洛必达法则，得到2x / sin(x)，最终得到结果2。这种做法是否正确？为什么？

解答：这种做法是错误的。洛必达法则适用于"0/0"或"∞/∞"型未定式，但前提是分子分母的导数存在且极限存在。在本题中，虽然x→0时分子分母均趋于0，但直接应用洛必达法则会导致无穷循环计算。正确的方法是使用等价无穷小替换：当x→0时，1-cos(x)≈x2/2，因此原极限可化简为lim (x→0) [x2 / (x2/2)] = 2。这种情况下，洛必达法则并非最佳选择。

问题2：分母为零时的极限处理

问题：计算lim (x→1) [(x3-1) / (x2-1)]时，有考生直接代入x=1得到0/0型未定式，然后尝试约分但发现分子分母相同。这种情况下应该如何处理？

解答：当遇到分母为零的极限问题时，首先应检查分子是否也为零。在本题中，代入x=1后确实得到0/0型未定式，此时不能直接约分。正确做法是分解因式：(x3-1)/(x2-1) = [(x-1)(x2+x+1)]/[(x-1)(x+1)]。约去公因式(x-1)后，得到(x2+x+1)/(x+1)。此时再代入x=1，结果为3/2。值得注意的是，如果分子分母有公因式(x-1)，必须先约分再代入，否则会导致计算错误。

问题3：无穷小量的比较与取舍

问题：在计算lim (x→0) [tan(x) sin(x)]/x3时，有考生认为tan(x)和sin(x)都可以用x近似，因此结果为0。这种想法对吗？

解答：这种想法是错误的。虽然tan(x)和sin(x)在x→0时都趋于x，但它们的近似精度不同。正确的做法是使用泰勒展开：tan(x)≈x+x3/3，sin(x)≈x-x3/6，因此原极限可化简为lim (x→0) [(x+x3/3-x+x3/6)/x3] = lim (x→0) [2x3/6x3] = 1/3。这表明在极限计算中，必须根据问题需要选择适当精度的无穷小近似，否则会导致结果错误。特别地，当涉及高阶无穷小比较时，泰勒展开是更可靠的方法。

问题4：复合函数的极限计算顺序

问题：计算lim (x→0) [(1+sin(x))x 1]时，有考生直接将(1+sin(x))x展开为1+xsin(x)，然后计算极限。这种做法是否正确？

解答：这种做法是不完整的。(1+sin(x))x不是简单的乘积形式，不能直接展开。正确的方法是使用对数处理：设y=(1+sin(x))x，则ln(y)=xln(1+sin(x))。当x→0时，ln(1+sin(x))≈sin(x)-x，因此ln(y)≈x(sin(x)-x)。再利用sin(x)≈x-x3/6，得到ln(y)≈x(x-x3/6-x)=-x4/6。所以y=e(-x4/6)，最终极限为0。这表明在处理幂指函数的极限时，必须先转化为对数形式再计算。