高等代数考研中的线性变换与矩阵对角化问题精解

高等代数作为数学专业考研的核心课程之一，其线性变换与矩阵对角化问题是考生普遍感到棘手的难点。这类题目不仅考察对基本概念的理解，更注重逻辑推理与计算能力的结合。本文精选3-5道考研经典题目，从问题提出到详细解答，系统梳理解题思路，帮助考生突破重难点。每个问题均包含完整解答步骤，力求以清晰、简洁的语言呈现复杂的数学过程，同时注重解题技巧的总结与归纳。

问题一：线性变换的矩阵表示与像空间维数求解

设V是n维向量空间，T是V上的线性变换，T的矩阵在基β下的表示为A。若r(A)=3，求T的像空间V的维数。