李扬老师考研数学高频考点深度解析
在考研数学的备考过程中，李扬老师以其独特的教学风格和深入浅出的讲解方式，帮助无数考生攻克了数学难关。本文将聚焦李扬老师常被问及的几个核心问题，结合具体案例进行详尽解答，帮助考生更好地理解和掌握考研数学的重点难点。无论是函数极限的计算技巧，还是多元微积分的应用策略，李扬老师的解答都力求精准且贴近实战，让考生在备考路上少走弯路。
问题一：函数极限的求解技巧有哪些？
函数极限的求解是考研数学中的常见考点，也是很多考生容易混淆的地方。李扬老师在讲解时强调，求解函数极限的核心在于灵活运用极限的性质和运算法则。具体来说，主要有以下几种方法：
- 直接代入法：当函数在极限点处连续时，可直接代入求值。但需注意，若代入后出现未定式（如0/0或∞/∞），则需进一步处理。
- 等价无穷小替换法：利用常见的等价无穷小（如x→0时，sinx≈x，1-cosx≈x2/2）简化计算。这一方法在处理三角函数或指数函数极限时尤为有效。
- 洛必达法则：对于未定式极限，当直接代入后无法简化时，可通过求导数的方式消去未定式。但需注意，洛必达法则仅适用于0/0或∞/∞型，且需确保导数存在且极限存在。
- 分解法：将复杂函数分解为简单函数的复合，逐个求解后再组合。这种方法在处理分式或复合函数极限时特别有用。
以极限lim (x→0) (sinx x)/x2为例，若直接代入得到0/0型未定式，可先用等价无穷小替换sinx≈x，再展开计算。但更简洁的方法是应用洛必达法则，求导后得到lim (x→0) (cosx 1)/2x，继续求导得lim (x→0) (-sinx)/2 = 0。李扬老师特别提醒，洛必达法则并非万能，有时反而不便，需根据具体问题灵活选择。
问题二：多元函数的极值如何判断？
多元函数的极值问题是考研数学的重难点，李扬老师在此问题上给出了系统性的判断方法。我们需要明确极值的定义：若函数在某点邻域内的值都小于或大于该点的函数值，则该点为极值点。具体判断步骤如下：
- 求驻点：令函数的所有一阶偏导数为0，解出所有可能的极值点。
- 计算二阶偏导数：在驻点处计算二阶偏导数，构建海森矩阵（Hessian Matrix）。
- 判断极值类型：根据海森矩阵的符号特征判断
- 若海森矩阵正定（主子式全为正），则该点为极小值点；
- 若海森矩阵负定（主子式交替为负），则为极大值点；
- 若海森矩阵不定，则该点非极值点。
以函数f(x,y) = x2 + 2xy + y2为例，求其极值。首先求偏导f? = 2x + 2y，f? = 2x + 2y，令其为0得驻点(0,0)。计算二阶偏导f??=2，f??=2，f??=2，f??=2，构建海森矩阵H=2 2; 2 2，其行列式Δ=4-4=0。由于Δ=0，无法直接判断，需进一步分析函数在该点的表现。实际上，f(x,y)可化简为(x+y)2，显然在(0,0)处取得极小值0。李扬老师补充说明，当Δ=0时，可考虑高阶导数或直接观察函数形式判断。
问题三：定积分的计算有哪些高效技巧？
定积分的计算是考研数学中的高频考点，李扬老师总结了几种常用的高效技巧，帮助考生快速准确求解。定积分的基本性质是计算的基础，包括区间可加性、奇偶性等。在此基础上，主要有以下几种技巧：
- 换元法：通过变量替换简化积分区间或被积函数。常见情形包括三角换元（如√(a2-x2)可令x=a sinθ）、倒代换（如x→1/x在x→∞时）等。
- 分部积分法：适用于被积函数为乘积形式的积分。关键在于选择u和dv，常见模式如∫xnf(x)dx（选xn为u）、∫ex f(x)dx（选ex为u）等。
- 分项积分法：将复杂被积函数分解为简单函数的代数和，逐项积分。这种方法在处理多项式与三角函数、指数函数的乘积时特别有效。
- 周期函数积分性质：利用f(x+T)=f(x)的性质简化计算。如∫[0,T]f(x)dx=∫[a,a+T]f(x)dx（a为常数）。
以积分∫[0,π/2]sin3x dx为例，直接计算较为复杂。若采用换元法，令x=π/2-t，则dx=-dt，积分区间变为[π/2,0]，原积分变为∫[0,π/2]cos3t dt。此时，利用三次幂的积分公式或再次换元（令t=π/2-u）可得到结果。李扬老师特别强调，换元时需注意积分区间的变换，并检查新变量是否满足积分条件。对于周期函数的积分，有时可直接利用周期性质简化计算，如∫[0,2π]sin3x dx=0，因为sin3x在[0,2π]上积分为零。