考研数学660题库第一章核心考点精解

考研数学660题库作为备考的重要参考资料，其第一章内容主要涵盖函数、极限与连续性等基础概念。这些知识点不仅是后续高等数学学习的基石，也是历年真题中的高频考点。本文将精选3-5道典型题目，深入剖析其解题思路与易错点，帮助考生夯实基础、提升应试能力。内容结合考研数学的考查特点，以通俗易懂的方式讲解，确保考生能够真正理解并掌握。

典型问题解析

问题1：函数极限的求解技巧

在考研数学中，函数极限的求解是第一章的重点也是难点。这类题目往往涉及多种极限计算方法，如洛必达法则、等价无穷小替换等。以一道典型真题为例：求极限 lim (x→0) (sin x x) / (x3)。很多同学在解题时会直接套用洛必达法则，但这样计算较为繁琐。正确做法是先对分子进行泰勒展开，sin x x ≈ -x3/6，从而原极限变为 -1/6。这个例子告诉我们，灵活运用泰勒公式能大大简化计算过程。

问题2：无穷小量的比较与阶次判定

无穷小量的比较是考研数学中的常见题型，考查考生对“阶”的理解。例如：比较当x→0时，(1-cos x)与(x2)的阶次关系。部分考生会误认为两者同阶，但实际上1-cos x ≈ x2/2，因此是同阶但非等价无穷小。这类问题需要考生熟练掌握常见函数的泰勒展开式，并能准确判断其主导项。解题时可以借助等价无穷小表，但更关键的是理解其背后的极限计算逻辑。

问题3：函数连续性的判定与间断点分类

函数连续性是考研数学中的基础考点，常与极限计算结合考查。一道典型题目是：讨论函数f(x) = xsin(1/x)在x=0处是否连续。很多同学会忽略绝对值的存在，直接判断为不连续。实际上，当x→0时，xsin(1/x)的绝对值不超过x，而x在x=0处极限为0，因此原函数在x=0处极限存在且为0，结合f(0)=0可知函数连续。这类问题需要考生掌握连续性的定义，并能准确处理绝对值、分段函数等复杂表达式。