张宇1000题第九章疑难突破：常考题型深度解析
考研数学张宇1000题第九章主要涉及多元函数微分学及其应用，包括偏导数、全微分、方向导数、梯度以及多元函数的极值与最值问题。这部分内容在考研中占比较大，题目综合性强，需要考生熟练掌握基本概念、计算方法和几何意义。本章难点在于抽象概念的直观理解、复杂计算的综合运用以及实际应用问题的建模。张宇老师通过1000题精心编排了多个典型例题和变式，帮助考生攻克重难点，提升解题能力。下面将针对几道常见问题进行深入解析，助力考生高效备考。
问题1：如何快速判断多元函数的驻点与极值点？
答：判断多元函数的驻点与极值点需要系统分析，不能仅凭偏导数为零就断定是极值点。驻点是指函数在某点处一阶偏导数均为零的点，即满足方程组 ?f/?x = 0, ?f/?y = 0（或其他变量）的点。但驻点未必是极值点，需进一步验证其性质。通常采用“二阶偏导数判别法”：设驻点为 (x?, y?)，计算二阶偏导数 fxx, fyy, fxy，并构造判别式 A = fxx, B = fxy, C = fyy，然后根据 B2 AC 判断：
若 B2 AC < 0 且 A > 0，则 (x?, y?) 是极小值点；
若 B2 AC < 0 且 A < 0，则 (x?, y?) 是极大值点；
若 B2 AC > 0，则非极值点；
若 B2 AC = 0，则需用其他方法（如取沿不同方向的方向导数）进一步分析。
例如，f(x, y) = x3 3xy2 + y3 在 (0, 0) 处有驻点，但 (0, 0) 不是极值点，因为 B2 AC = (-6y)2 (6x)(6y) 在原点处无法确定符号。实际计算中，考生需结合函数图像或取特定方向验证。边界条件下的最值问题需单独处理，如利用拉格朗日乘数法求解条件极值。张宇老师在本章例题中多次强调“分类讨论”的重要性，避免因忽略特殊情况导致错误。
问题2：方向导数与梯度的几何意义及计算易错点有哪些？
答：方向导数与梯度是多元微积分的核心概念，常在几何与物理问题中应用。方向导数 ?f·u 表示函数沿单位向量 u 方向的变化率，计算公式为 ?f(x?, y?)·u = f?(x?, y?)u? + f<0xE1><0xB5><0xA3>(x?, y?)u<0xE1><0xB5><0xA3>，其中 u = (u?, u<0xE1><0xB5><0xA3>) 为单位向量。梯度 ?f(x?, y?) 是函数在该点处变化最快的方向，其模长等于方向导数的最大值。计算易错点主要有：
1. 单位向量混淆：方向导数计算前必须将给定向量 u 归一化，若直接使用非单位向量会导致结果错误。如 f(x, y) = √x2 + y2 在 (1, 1) 处沿向量 (1, 1) 的方向导数为 ?f(1, 1)·(1/√2, 1/√2) = 1，若忽略归一化会误算为 √2；
2. 梯度与方向导数关系误用：梯度方向为最大增长方向，但方向导数与梯度垂直时为零，考生易忽略此情况。如 f(x, y) = x2 y2 在 (0, 0) 处梯度为 (0, 0)，沿任何方向方向导数均为 0；
3. 高维推广忽视：在三维及以上空间中，方向导数计算需扩展为 ?f·u = Σ f<0xE2><0x82><0x96>(x?)u<0xE2><0x82><0x96>，但部分考生习惯二维思维导致维度错误。
张宇老师在本章通过“爬山”与“风场”等比喻生动解释梯度与方向导数的物理意义，帮助考生建立直观理解。建议考生手绘函数图像，标注梯度与方向导数，加深记忆。条件方向导数（如受约束的方向）需结合投影计算，这部分在真题中偶有出现，需额外关注。
问题3：多元函数最值问题在闭区域上的求解策略是什么？
答：闭区域上的多元函数最值问题需综合“内部驻点”与“边界极值”两类情况求解。典型策略如下：
1. 分步处理：先在 D 内部求解无条件极值，即寻找满足 ?f = 0 的点；再在 D 边界上求解条件极值，通常转化为单变量或低维问题。
2. 边界处理技巧：对于复杂边界（如曲线或曲面），可使用参数方程降维。如求 f(x, y) 在圆 x2 + y2 = 1 上的最值，可设 x = cosθ, y = sinθ，将问题转化为 f(cosθ, sinθ) 的单变量最值。
3. 特殊点补充：闭区域边界可能存在不可导点或驻点，需单独验证。如 f(x, y) = x2 + y2 在 x2 + y2 ≤ 1 上，边界 x2 + y2 = 1 上的最值需通过拉格朗日乘数法 λ(x2 + y2 1) = 2x 或 λ(y2 + x2 1) = 2y 求解，得到 λ = ±1，对应极值点 (±1, 0) 和 (0, ±1)。
张宇老师在本章例题中通过“西瓜地围栏”等生活化场景引入最值问题，强调“全局视角”与“局部分析”结合的重要性。考生需注意：若区域 D 为无界区域（如全平面），则需额外考察极限行为，避免忽略无穷远处的情况。条件最值问题中拉格朗日乘数法的参数 λ 实际代表约束曲面在该点的法向量，理解其几何意义可简化计算。